Сложная числовая задача (6 класс)

[Eiktyrnir]

Многоуважаемые корифеи!!!
Сидим с сыном над задачей.
Какое количество существует чисел с суммой цифр 14, в записи которых нет ни одного нуля?
Итак что мы нашли...
2х значные: 59, 68, 77, 86, 95 (итого 5ть)
3х значные:
149, 158, 167, 176, 185, 194 (итого 6ть)
239, 248, 257, 266, 275, 284, 293 (итого 7мь)
Значит по индукции еще + 8мь (начинающих на 3-тью сотню), + 9ть (начинающих на 4-тую сотню) +10ть +11ть +12ть +13ть +14ть (начинающих на 9-тую сотню)
4х значные:
1229, 1238, 1247, 1256, 1265, 1274, 1283, 1292 (итого 8мь)
И далее с 1300 - таких 9ть, с 1400 - 10ть, 1500 - 11, 1600 - 12, 1700 - 13, 1800 - 14, 1900 - 15.
Итак уже имеем: 5+(6+7+8+9+10+11+12+13+14)+(8+9+10+11+12+13+14+15)+...
5ти значные:
11129, 11228, 11237, 11246, 11255, 11264, 11273, 11282, 11291 (итого 9ть)
12119, 12128, 12137, 12146, 12155, 12164, 12173, 12182, 12191 (тоже 9ть, причем здесь просто 2-ка "перебралась" в старший разряд)
...(дальше завал)
Потом мы решили пойти с конца и взяли 14-ти значное (которое как вы понимаете одно): 11111111111111
13-ти значные: 2111111111111 (и таких вариантов всего 13 штук - просто 2ка "гуляет по разрядам")
12-ти значные (уже сложнее - здесь может быть 22 или 13): 221111111111
Всех вариантов где 2-е двойки парами гуляют по разрядам мы насчитали 10ть, но 2ки могут гулять и порознь через 1-у единицу и не обязательно через одну...и снова завал...
Кто может подсказать в чем здесь логика? И подвести к ответу (может быть и по индукции)?

[wrest]

6 класс? Пропущено какое-то условие. Например "трехзначных".

[Eiktyrnir]

wrest в сообщении #1492874 писал(а):

6 класс? Пропущено какое-то условие. Например "трехзначных".

увы...не пропущено(((( А ЧТО, МОЖЕТ БЫТЬ ПРОПУЩЕНО???

-- Вт ноя 17, 2020 22:39:32 --

Итак мы тоже подумали что возможно в задаче не указано условие скольки значных чисел.
Вообщем подсчитали отдельно 2х значных: их всего реально 5ть (59, 68, 77, 86, 95)
Всего 3х значных - их 51 число (кто хочет может для себя проверить)
Наш ответ будет 51 (мы исходим из того что в исходном условии пропущено слово трехзначных чисел).

[wrest]

Eiktyrnir в сообщении #1492876 писал(а):

Всего 3х значных - их 51 число (кто хочет может для себя проверить)

Нет, не 51

[Александрович]

Eiktyrnir в сообщении #1492876 писал(а):

Всего 3х значных - их 51 число (кто хочет может для себя проверить)

Цифры в числе могут повторяться.

[Yadryara]

Eiktyrnir в сообщении #1492876 писал(а):

Итак мы тоже подумали что возможно в задаче не указано условие скольки значных чисел.

Даже если не указано, задача вполне решаемая.

Eiktyrnir в сообщении #1492876 писал(а):

Всего 3х значных - их 51 число (кто хочет может для себя проверить)

Проверил. Другое количество. Расчёт в студию, плиз.

[Andrey A]

Eiktyrnir в сообщении #1492871 писал(а):

Потом мы решили пойти с конца и взяли 14-ти значное (которое как вы понимаете одно): 11111111111111

Ценная мысль, но дальше стоит чуть по-другому. Представьте, что в задаче вместо $14$-ти дано $9$. Девять единиц и восемь пробелов между ними. Если вписывать в пробелы плюсы, получаются новые числа и наоборот, каждому числу с суммой цифр $9$ соответствует некоторое сочетание плюсов в пробелах. Например, число $3231$ запишется так: $1+1+1\ \ \ 1+1\ \ \ 1+1+1\ \ \ 1$ , и никак иначе. Всего таких сочетаний, понятно, $2^8=256$, что и есть решение для $s=9.$ Но у Вас $s=14$, а система счисления по-прежнему десятичная. Так решите для начала задачу в пятнацатиричной системе и вычеркните после числа, содержащие "чуждые цифры". Их в каждом числе встретится не более одной. Цифра "четырнадцать" содержится лишь в одном числе, цифра "тринадцать" — в двух, "двенадцать" — в пяти и т.д. Осталось посчитать, собственно, "одиннадцать" и "десять".

[gris]

я бы на месте шестиклассника попробовал бы метод без всяких теорий. Начал бы выписывать упорядоченно по невозрастанию упорядоченные внутри себя по невозрастанию кортежи из цифр в сумме дающих $14$
$95$
$941$
$932$
$9311$
$9221$
$911111$
$86$
$851$
...
$221111111111$
$2111111111111$
$11111111111111$
Ну а потом для каждой строки применить перемешивание с учётом повторений.
Может быть попроще будет?

[TOTAL]

Рационализаторское предложение.
Обозначим $C_n(k)$ - количество $n$-значных чисел с суммой цифр $k$.

Так как $C_n(k)=C_n(k-1)+C_{n-1}(k-1)-C_{n-1}(k-10)$,
то шестиклассник быстренько составляет табличку для $\;C_n(k), \; n=1,\dots,5; \; k=1,\dots,14$

А для каждого $n>5$ нужные числа считаются и вовсе легко: расстановкой $(n-1)$ перегородок между $14$ предметами.

[Nemiroff]

Eiktyrnir в сообщении #1492871 писал(а):

14ть (начинающих на 9-тую сотню)

Интересная у вас индукция получилась

[wrest]

TOTAL в сообщении #1492944 писал(а):

А для каждого $n>5$ нужные числа считаются и вовсе легко: расстановкой $(n-1)$ перегородок между $14$ предметами.

У меня для стартовой задачи получается 7-значных и 8-значных чисел одинаковое количество (1716), что не соответствует вышеуказанному. Вы уверены в правильности утверждения?

[Verkhovtsev]

wrest в сообщении #1493008 писал(а):

У меня для стартовой задачи получается 7-значных и 8-значных чисел одинаковое количество (1716), что не соответствует вышеуказанному.

Вышеуказанное соответствует:

$$C_{13}^6 = C_{13}^7 = 1716.$$

Мест между предметами, куда перегородки ставятся, на единицу меньше, чем самих предметов. В данном случае $14-1=13$ мест. Далее, $6$ перегородок определяют $7$-значное число, $7$ перегородок $- 8$-значное, и т.д.

[wrest]

Verkhovtsev в сообщении #1493018 писал(а):

Вышеуказанное соответствует:

$$C_{13}^6 = C_{13}^7 = 1716.$$

А... единицу я недовычел, считал $C_{14}^7=3432$ и $C_{14}^6=3003$, спасибо.

[Yadryara]

У нас тут целая иерархия методов образовалась. По трудозатратности:

1. Andrey A
2. TOTAL
3. gris
4. Eiktyrnir

Первые два ещё утром проверил. Сошлось. Ответ один и тот же. Третий метод бросил на полдороге. Количество подходящих разбиений числа $14$ — около сотни.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1493030 писал(а):

Третий метод бросил на полдороге. Количество подходящих разбиений числа $14$ — около сотни.

123, если я правильно понял о чем вы.