2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение17.11.2020, 22:53 
Аватара пользователя


30/11/07
389
Многоуважаемые корифеи!!!
Сидим с сыном над задачей.
Какое количество существует чисел с суммой цифр 14, в записи которых нет ни одного нуля?
Итак что мы нашли...
2х значные: 59, 68, 77, 86, 95 (итого 5ть)
3х значные:
149, 158, 167, 176, 185, 194 (итого 6ть)
239, 248, 257, 266, 275, 284, 293 (итого 7мь)
Значит по индукции еще + 8мь (начинающих на 3-тью сотню), + 9ть (начинающих на 4-тую сотню) +10ть +11ть +12ть +13ть +14ть (начинающих на 9-тую сотню)
4х значные:
1229, 1238, 1247, 1256, 1265, 1274, 1283, 1292 (итого 8мь)
И далее с 1300 - таких 9ть, с 1400 - 10ть, 1500 - 11, 1600 - 12, 1700 - 13, 1800 - 14, 1900 - 15.
Итак уже имеем: 5+(6+7+8+9+10+11+12+13+14)+(8+9+10+11+12+13+14+15)+...
5ти значные:
11129, 11228, 11237, 11246, 11255, 11264, 11273, 11282, 11291 (итого 9ть)
12119, 12128, 12137, 12146, 12155, 12164, 12173, 12182, 12191 (тоже 9ть, причем здесь просто 2-ка "перебралась" в старший разряд)
...(дальше завал)
Потом мы решили пойти с конца и взяли 14-ти значное (которое как вы понимаете одно): 11111111111111
13-ти значные: 2111111111111 (и таких вариантов всего 13 штук - просто 2ка "гуляет по разрядам")
12-ти значные (уже сложнее - здесь может быть 22 или 13): 221111111111
Всех вариантов где 2-е двойки парами гуляют по разрядам мы насчитали 10ть, но 2ки могут гулять и порознь через 1-у единицу и не обязательно через одну...и снова завал...
Кто может подсказать в чем здесь логика? И подвести к ответу (может быть и по индукции)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение17.11.2020, 23:24 


05/09/16
12038
6 класс? Пропущено какое-то условие. Например "трехзначных".

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение17.11.2020, 23:27 
Аватара пользователя


30/11/07
389
wrest в сообщении #1492874 писал(а):
6 класс? Пропущено какое-то условие. Например "трехзначных".

увы...не пропущено(((( А ЧТО, МОЖЕТ БЫТЬ ПРОПУЩЕНО???

-- Вт ноя 17, 2020 22:39:32 --

Итак мы тоже подумали что возможно в задаче не указано условие скольки значных чисел.
Вообщем подсчитали отдельно 2х значных: их всего реально 5ть (59, 68, 77, 86, 95)
Всего 3х значных - их 51 число (кто хочет может для себя проверить)
Наш ответ будет 51 (мы исходим из того что в исходном условии пропущено слово трехзначных чисел).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение17.11.2020, 23:45 


05/09/16
12038
Eiktyrnir в сообщении #1492876 писал(а):
Всего 3х значных - их 51 число (кто хочет может для себя проверить)

Нет, не 51 :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 03:35 
Аватара пользователя


21/01/09
3924
Дивногорск
Eiktyrnir в сообщении #1492876 писал(а):
Всего 3х значных - их 51 число (кто хочет может для себя проверить)

Цифры в числе могут повторяться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 05:14 
Аватара пользователя


29/04/13
8037
Богородский
Eiktyrnir в сообщении #1492876 писал(а):
Итак мы тоже подумали что возможно в задаче не указано условие скольки значных чисел.

Даже если не указано, задача вполне решаемая.

Eiktyrnir в сообщении #1492876 писал(а):
Всего 3х значных - их 51 число (кто хочет может для себя проверить)

Проверил. Другое количество. Расчёт в студию, плиз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 05:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Eiktyrnir в сообщении #1492871 писал(а):
Потом мы решили пойти с конца и взяли 14-ти значное (которое как вы понимаете одно): 11111111111111
Ценная мысль, но дальше стоит чуть по-другому. Представьте, что в задаче вместо $14$-ти дано $9$. Девять единиц и восемь пробелов между ними. Если вписывать в пробелы плюсы, получаются новые числа и наоборот, каждому числу с суммой цифр $9$ соответствует некоторое сочетание плюсов в пробелах. Например, число $3231$ запишется так: $1+1+1\ \ \ 1+1\ \ \ 1+1+1\ \ \ 1$ , и никак иначе. Всего таких сочетаний, понятно, $2^8=256$, что и есть решение для $s=9.$ Но у Вас $s=14$, а система счисления по-прежнему десятичная. Так решите для начала задачу в пятнацатиричной системе и вычеркните после числа, содержащие "чуждые цифры". Их в каждом числе встретится не более одной. Цифра "четырнадцать" содержится лишь в одном числе, цифра "тринадцать" — в двух, "двенадцать" — в пяти и т.д. Осталось посчитать, собственно, "одиннадцать" и "десять".

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
я бы на месте шестиклассника попробовал бы метод без всяких теорий. Начал бы выписывать упорядоченно по невозрастанию упорядоченные внутри себя по невозрастанию кортежи из цифр в сумме дающих $14$
$95$
$941$
$932$
$9311$
$9221$
$911111$
$86$
$851$
...
$221111111111$
$2111111111111$
$11111111111111$
Ну а потом для каждой строки применить перемешивание с учётом повторений.
Может быть попроще будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 11:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Рационализаторское предложение.
Обозначим $C_n(k)$ - количество $n$-значных чисел с суммой цифр $k$.

Так как $C_n(k)=C_n(k-1)+C_{n-1}(k-1)-C_{n-1}(k-10)$,
то шестиклассник быстренько составляет табличку для $\;C_n(k), \; n=1,\dots,5; \; k=1,\dots,14$

А для каждого $n>5$ нужные числа считаются и вовсе легко: расстановкой $(n-1)$ перегородок между $14$ предметами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 13:45 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Eiktyrnir в сообщении #1492871 писал(а):
14ть (начинающих на 9-тую сотню)
Интересная у вас индукция получилась

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 14:35 


05/09/16
12038
TOTAL в сообщении #1492944 писал(а):
А для каждого $n>5$ нужные числа считаются и вовсе легко: расстановкой $(n-1)$ перегородок между $14$ предметами.

У меня для стартовой задачи получается 7-значных и 8-значных чисел одинаковое количество (1716), что не соответствует вышеуказанному. Вы уверены в правильности утверждения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 15:04 


30/09/20
78
wrest в сообщении #1493008 писал(а):
У меня для стартовой задачи получается 7-значных и 8-значных чисел одинаковое количество (1716), что не соответствует вышеуказанному.

Вышеуказанное соответствует: $$C_{13}^6 = C_{13}^7 = 1716.$$
Мест между предметами, куда перегородки ставятся, на единицу меньше, чем самих предметов. В данном случае $14-1=13$ мест. Далее, $6$ перегородок определяют $7$-значное число, $7$ перегородок $- 8$-значное, и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 15:24 


05/09/16
12038
Verkhovtsev в сообщении #1493018 писал(а):
Вышеуказанное соответствует: $$C_{13}^6 = C_{13}^7 = 1716.$$

А... единицу я недовычел, считал $C_{14}^7=3432$ и $C_{14}^6=3003$, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 15:38 
Аватара пользователя


29/04/13
8037
Богородский
У нас тут целая иерархия методов образовалась. По трудозатратности:

1. Andrey A
2. TOTAL
3. gris
4. Eiktyrnir

Первые два ещё утром проверил. Сошлось. Ответ один и тот же. Третий метод бросил на полдороге. Количество подходящих разбиений числа $14$ — около сотни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная числовая задача (6 класс)
Сообщение18.11.2020, 15:43 


05/09/16
12038
Yadryara в сообщении #1493030 писал(а):
Третий метод бросил на полдороге. Количество подходящих разбиений числа $14$ — около сотни.

123, если я правильно понял о чем вы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group