2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 12:15 


27/09/17
22
Здравствуйте, не могли бы Вы проверить эту задачку?

Случайная величина $( \xi ,  \eta )$ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием $(M\xi, M\eta)=(0; -0,3)$ и ковариационной матрицей
$\Sigma  = \begin{pmatrix} D\xi & cov(\xi; \eta) \\ cov(\eta, \xi) & D\eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{ 1 }{ 6 }  \\ \frac{ 1 }{ 6 }  & 0,09 \end{pmatrix}$
Найти $P(3\eta-\xi>0)$

Какой мой план решения. Проверяем случайные величины$-\xi, 3\eta$ на независимость. Если независимы, то используем формулу свертки для нахождения плотности вероятности суммы двух случайных величин. Затем интегрируем, то есть найдем $P(3\eta-\xi<0)$. И вычитаем из 1 эту величину.

Раз $\xi, \eta$ нормально распределены, то и $-\xi, 3\eta$ тоже нормально распределены.
Значит и их сумма $3\eta-\xi$ тоже нормально распределена и функция распределения будет выглядеть так:
$\Phi =\frac{1}{(9\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2}) \sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{0}e^{-\frac{(t-(3\alpha_{1}-\alpha_{2}))^{2}}{2(9\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2})}}dt$
Это я нашел $P(3\eta-\xi<0)$.
Значит ответ будет:
$P(3\eta-\xi>0)=1-\Phi$

Правильно ли я решаю? и на верном ли пути? Буду рад любой помощи и совету!

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.11.2020, 12:17 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- изложите собственные содержательные попытки решения задачи полностью.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.11.2020, 15:50 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 16:23 


27/09/17
22
Буду рад любой помощи и подсказке. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
khammisha в сообщении #1492778 писал(а):
Проверяем случайные величины$-\xi, 3\eta$ на независимость
И что получилось - зависимы они или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 16:48 


27/09/17
22
mihaild в сообщении #1492816 писал(а):
khammisha в сообщении #1492778 писал(а):
Проверяем случайные величины$-\xi, 3\eta$ на независимость
И что получилось - зависимы они или нет?

Зависимы( ковариацию посчитал, получилось $-\frac{1}{2}$
Тогда вообще вариантов нет как быть. Может я усложняю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
khammisha в сообщении #1492818 писал(а):
Тогда вообще вариантов нет как быть.
Пусть у вас есть двумерная нормальная величина. Что вы знаете про матрицу ковариации линейного преобразования от неё?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Любая линейная комбинация компонент нормального вектора тоже нормальна. Вам осталось найти ее математическое ожидание и дисперсию, и использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 17:33 


27/09/17
22
alisa-lebovski в сообщении #1492823 писал(а):
Любая линейная комбинация компонент нормального вектора тоже нормальна. Вам осталось найти ее математическое ожидание и дисперсию, и использовать.

Да, я нашел матожидание и дисперсию. Но не понимаю как применить их
$E(3\eta-\xi)=-0,9$
$D(3\eta-\xi)=9D\eta+D\xi+2\cdotcov(3\eta, \xi)=9\cdot0,09+1-1=0,81$

-- 17.11.2020, 20:49 --

Просто все же чтобы найти $P(3\eta-\xi>0)$, мне же нужно найти плотность вероятностей случайной величины $3\eta-\xi$? А у меня эти две случайные величины $3\eta,\xi$зависимы, а значит я не могу применить формулу свертки. Не понимаю как использовать матожидание с дисперсией для нахождения вероятности.
Или я что-то не так делаю? Заранее прошу извинить меня, теорвер изучаю первый год) Буду рад любой помощи

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
khammisha в сообщении #1492827 писал(а):
Просто все же чтобы найти $P(3\eta-\xi>0)$, мне же нужно найти плотность вероятностей случайной величины $3\eta-\xi$?
Нет, не нужно. У Вас получилась случайная величина с распределением $N(-0,9;0,81)$. Знаете, как найти вероятность, что она больше нуля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 18:25 


27/09/17
22
alisa-lebovski в сообщении #1492830 писал(а):
khammisha в сообщении #1492827 писал(а):
Просто все же чтобы найти $P(3\eta-\xi>0)$, мне же нужно найти плотность вероятностей случайной величины $3\eta-\xi$?
Нет, не нужно. У Вас получилась случайная величина с распределением $N(-0,9;0,81)$. Знаете, как найти вероятность, что она больше нуля?

проинтегрировать от 0 до бесконечности?

-- 17.11.2020, 21:25 --

функцию плотности

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Что-то Вы зациклились на плотности. Вы знаете функцию нормального распределения $N(a,\sigma^2)$ (я имею в виду выражение через функцию стандартного нормального распределения или функцию Лапласа)? Надо ее применить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 18:56 


27/09/17
22
Получается это будет
$1-\Phi(\frac{0-(-0,9)}{0,81})$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
А корень взять из $\sigma^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование случайной величины
Сообщение17.11.2020, 19:24 


27/09/17
22
alisa-lebovski в сообщении #1492841 писал(а):
А корень взять из $\sigma^2$?

Да, точно.
Хотел еще уточнить про функцию Лапласа на бесконечности. Это 1? Просто нигде не могу информацию найти.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group