Преобразование случайной величины

[khammisha]

Здравствуйте, не могли бы Вы проверить эту задачку?

Случайная величина $( \xi , \eta )$ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием $(M\xi, M\eta)=(0; -0,3)$ и ковариационной матрицей
$\Sigma = \begin{pmatrix} D\xi & cov(\xi; \eta) \\ cov(\eta, \xi) & D\eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{ 1 }{ 6 } \\ \frac{ 1 }{ 6 } & 0,09 \end{pmatrix}$
Найти $P(3\eta-\xi>0)$

Какой мой план решения. Проверяем случайные величины$-\xi, 3\eta$ на независимость. Если независимы, то используем формулу свертки для нахождения плотности вероятности суммы двух случайных величин. Затем интегрируем, то есть найдем $P(3\eta-\xi<0)$. И вычитаем из 1 эту величину.

Раз $\xi, \eta$ нормально распределены, то и $-\xi, 3\eta$ тоже нормально распределены.
Значит и их сумма $3\eta-\xi$ тоже нормально распределена и функция распределения будет выглядеть так:
$\Phi =\frac{1}{(9\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2}) \sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{0}e^{-\frac{(t-(3\alpha_{1}-\alpha_{2}))^{2}}{2(9\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2})}}dt$
Это я нашел $P(3\eta-\xi<0)$.
Значит ответ будет:
$P(3\eta-\xi>0)=1-\Phi$

Правильно ли я решаю? и на верном ли пути? Буду рад любой помощи и совету!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- изложите собственные содержательные попытки решения задачи полностью.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[khammisha]

Буду рад любой помощи и подсказке. Заранее спасибо!

[mihaild]

khammisha в сообщении #1492778 писал(а):

Проверяем случайные величины$-\xi, 3\eta$ на независимость

И что получилось - зависимы они или нет?

[khammisha]

mihaild в сообщении #1492816 писал(а):

khammisha в сообщении #1492778 писал(а):

Проверяем случайные величины$-\xi, 3\eta$ на независимость

И что получилось - зависимы они или нет?

Зависимы( ковариацию посчитал, получилось $-\frac{1}{2}$
Тогда вообще вариантов нет как быть. Может я усложняю?

[mihaild]

khammisha в сообщении #1492818 писал(а):

Тогда вообще вариантов нет как быть.

Пусть у вас есть двумерная нормальная величина. Что вы знаете про матрицу ковариации линейного преобразования от неё?

[alisa-lebovski]

Любая линейная комбинация компонент нормального вектора тоже нормальна. Вам осталось найти ее математическое ожидание и дисперсию, и использовать.

[khammisha]

alisa-lebovski в сообщении #1492823 писал(а):

Любая линейная комбинация компонент нормального вектора тоже нормальна. Вам осталось найти ее математическое ожидание и дисперсию, и использовать.

Да, я нашел матожидание и дисперсию. Но не понимаю как применить их
$E(3\eta-\xi)=-0,9$
$D(3\eta-\xi)=9D\eta+D\xi+2\cdotcov(3\eta, \xi)=9\cdot0,09+1-1=0,81$

-- 17.11.2020, 20:49 --

Просто все же чтобы найти $P(3\eta-\xi>0)$, мне же нужно найти плотность вероятностей случайной величины $3\eta-\xi$? А у меня эти две случайные величины $3\eta,\xi$зависимы, а значит я не могу применить формулу свертки. Не понимаю как использовать матожидание с дисперсией для нахождения вероятности.
Или я что-то не так делаю? Заранее прошу извинить меня, теорвер изучаю первый год) Буду рад любой помощи

[alisa-lebovski]

khammisha в сообщении #1492827 писал(а):

Просто все же чтобы найти $P(3\eta-\xi>0)$, мне же нужно найти плотность вероятностей случайной величины $3\eta-\xi$?

Нет, не нужно. У Вас получилась случайная величина с распределением $N(-0,9;0,81)$. Знаете, как найти вероятность, что она больше нуля?

[khammisha]

alisa-lebovski в сообщении #1492830 писал(а):

khammisha в сообщении #1492827 писал(а):

Просто все же чтобы найти $P(3\eta-\xi>0)$, мне же нужно найти плотность вероятностей случайной величины $3\eta-\xi$?

Нет, не нужно. У Вас получилась случайная величина с распределением $N(-0,9;0,81)$. Знаете, как найти вероятность, что она больше нуля?

проинтегрировать от 0 до бесконечности?

-- 17.11.2020, 21:25 --

функцию плотности

[alisa-lebovski]

Что-то Вы зациклились на плотности. Вы знаете функцию нормального распределения $N(a,\sigma^2)$ (я имею в виду выражение через функцию стандартного нормального распределения или функцию Лапласа)? Надо ее применить.

[khammisha]

Получается это будет
$1-\Phi(\frac{0-(-0,9)}{0,81})$?

[alisa-lebovski]

А корень взять из $\sigma^2$?

[khammisha]

alisa-lebovski в сообщении #1492841 писал(а):

А корень взять из $\sigma^2$?

Да, точно.
Хотел еще уточнить про функцию Лапласа на бесконечности. Это 1? Просто нигде не могу информацию найти.