Разброс корней многочлена

[rancid_rot]

В демоварианте одной олимпиады наткнулся на задачку:
Числа $z_1,z_2,z_3$ - решения уравнения $z^3-e^{-ia}(7-ibe^{3ia})z^2+e^{-2ia}(6-7ibe^{3ia})z+6ib=0$ с действительными параметрами $a,b$. Найдите минимальное значение $|z_1-z_2|+|z_2-z_3|+|z_3-z_1|$.
Я решал так:
1) Обозначим коэффициенты многочлена через $c_1,c_2,c_3$. Выпишем последнюю формулу Виета: $6ib=-z_1 z_2 z_3$. Правая часть вещественная, следовательно $b=z_1=0$.
2) Выпишем первую формулу Виета с учётом (1): $-7e^{-ia}=-(z_2 +z_3)$. Отсюда $e^{-ia}=\cos(-a)+i\sin(-a)$ также принадлежит $\mathbb{R}$ и, следовательно, равняется $\pm 1$.
3) Из (1) следует, что уравнение можно записать в виде $z(z^2 - 7e^{-ia}z+6e^{-2ia})=0$. Считаем дискриминант $D=25e^{-2ia}$, подставляем (2), получаем корни либо $z_{1,2}=-6,-1$, либо $z_{1,2}=6,1$. И ответ равен $12$, а в ответах к олимпиаде он равен $10$.
Где я свернул не туда?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- наберите условие в текстовом виде, не надо вставлять его картинкой.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 17.11.2020, 12:50 --

rancid_rot в сообщении #1492780 писал(а):

Выпишем последнюю формулу Виета: $6ib=-z_1 z_2 z_3$. Правая часть вещественная, следовательно $b=z_1=0$.

А почему правая часть вещественная?

[rancid_rot]

Pphantom в сообщении #1492786 писал(а):

А почему правая часть вещественная?

Два сопряжённых корня у нас же только для многочленов с вещественными коэффициентами...
Ладно, пойду дальше думать

[Pphantom]

Кажется, все проще: если раскрыть скобки и упростить получившееся, то выражение слева довольно очевидным образом раскладывается на множители.

[rancid_rot]

Pphantom в сообщении #1492790 писал(а):

Кажется, все проще: если раскрыть скобки и упростить получившееся, то выражение слева довольно очевидным образом раскладывается на множители.

Да, действительно. В результате получается, что два корня от $b$ вообще не зависят, и можно третий поместить на одну прямую с ними.
Спасибо.