Теорема о взаимно простых многочленах

[goganchic]

Разбираюсь с линейной алгеброй по учебнику Куроша. Смотрю параграф 21 о наибольшем общем делителе двух многочленов. Сначала представлена такая теорема:

Цитата:

Если $d(x)$ есть наибольший общий делитель многочленов $f(x)$ и $g(x)$, то можно найти такие многочлены $u(x)$ и $v(x)$, что $f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x)$

В теореме говорится о необходимости, но не достаточности, т.е. автор не говорит, что в случае возможности найти $u(x)$ и $v(x)$ многочлен d(x)$ будет максимальным общим делителем (или хоть каким-то делителем) для $f(x)$ и $g(x)$.
Далее идет эта же теорема для взаимно простых многочленов:

Цитата:

Многочлены $f(x)$ и $g(x)$ тогда и только тогда взаимно просты, если можно найти многочлены $u(x)$ и $v(x)$, удовлетворяющие равенству $f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1$

Здесь уже говорится не только о необходимости, но и о достаточности и если необходимость доказана в предыдущей теореме - то достаточность для меня не является очевидной.
И дальше идет теорема, доказательство которой полностью сбивает меня с толку:

Цитата:

Если многочлен $f(x)$ взаимно прост с каждым из многочленов $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, то он взаимно прост и с их произведением.

Интуитивно теорема понятна и логична, но вот доказательство я не понимаю. Ссылаясь на предыдущую теорему автор говорит о существовании многочленов $u(x)$ и $v(x)$, таких что выполняется равенство $f(x)u(x) + \varphi(x)v(x) = 1$, после чего предлагает умножить левую и правую часть равенства на $\varphi(x)$ и расставить скобки: $f(x)[u(x)\varpsi(x)] + [\varphi(x)\psi(x)]v(x) = \psi(x)$. Автор утверждает, что из этого равенства следует, что всякий общий делитель $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$ был бы делителем и для $\psi(x)$, однако по условию НОД $f(x)$ и $\psi(x)$ равен единице.
Это утверждение вводит меня в замешательство. Я не могу понять, означает ли указанное выше равенство, что НОД $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$ равен $\psi(x)$? Быть может это не НОД а хоть какой-то общий делитель? Если же это равенство не означает то, что $\psi(x)$ - общий делитель, то что оно вообще означает?
Мне кажется, что я упускаю какую-то простую деталь, так сказать не вижу бревна в собственном глазу, потому что все теоремы идущие дальше доказываются достаточно просто.

[Brukvalub]

goganchic в сообщении #1492545 писал(а):

Я не могу понять, означает ли указанное выше равенство, что НОД $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$ равен $\psi(x)$?

Нет. Скажите, если два объекта одинаковы, и один из них обладает неким свойством, то второй может не обладать тем же свойством?

[iifat]

goganchic в сообщении #1492545 писал(а):

Здесь уже говорится не только о необходимости, но и о достаточности и если необходимость доказана в предыдущей теореме - то достаточность для меня не является очевидной

И что вы видите в этом такого странного? Две разных формулировки — вы заметили, это разные формулировки, хотя и похожие? В одной необходимость, в другой необходимость и достаточность. И чо?
Касательно достаточности — ну, попробуйте начать с чего попроще: сколько целых $x$, $y$ удовлетворяют уравнению $2x+2y=1$?

goganchic в сообщении #1492545 писал(а):

Интуитивно теорема понятна и логична, но вот доказательство я не понимаю. Ссылаясь на предыдущую теорему автор говорит о существовании многочленов $u(x)$ и $v(x)$, таких что выполняется равенство $f(x)u(x) + \varphi(x)v(x) = 1$, после чего предлагает умножить левую и правую часть равенства на $\varphi(x)$ и расставить скобки: $f(x)[u(x)\varpsi(x)] + [\varphi(x)\psi(x)]v(x) = \psi(x)$. Автор утверждает, что из этого равенства следует, что всякий общий делитель $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$ был бы делителем и для $\psi(x)$, однако по условию НОД $f(x)$ и $\psi(x)$ равен единице.

Четыре строчки. Две (ну, я заметил две) описки. Право же, вам стоит быть внимательнее. Если, конечно, вы хотите, чтоб вас понимали.

[TOTAL]

$f(x)u(x) + \varphi(x)v(x) = 1$
$f(x)U(x) + \psi(x)V(x) = 1$
Перемножайте эти равенства, вот и всё доказательство.

[goganchic]

Brukvalub в сообщении #1492548 писал(а):

goganchic в сообщении #1492545 писал(а):

Я не могу понять, означает ли указанное выше равенство, что НОД $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$ равен $\psi(x)$?

Нет. Скажите, если два объекта одинаковы, и один из них обладает неким свойством, то второй может не обладать тем же свойством?

Если два объекта одинаковы и один из них обладает неким свойством, то второй не может не обладать тем же свойством. К сожалению, пока что не могу понять куда вы клоните.

-- 16.11.2020, 20:02 --

iifat в сообщении #1492565 писал(а):

goganchic в сообщении #1492545 писал(а):

Здесь уже говорится не только о необходимости, но и о достаточности и если необходимость доказана в предыдущей теореме - то достаточность для меня не является очевидной

И что вы видите в этом такого странного? Две разных формулировки — вы заметили, это разные формулировки, хотя и похожие? В одной необходимость, в другой необходимость и достаточность. И чо?
Касательно достаточности — ну, попробуйте начать с чего попроще: сколько целых $x$, $y$ удовлетворяют уравнению $2x+2y=1$?

goganchic в сообщении #1492545 писал(а):

Интуитивно теорема понятна и логична, но вот доказательство я не понимаю. Ссылаясь на предыдущую теорему автор говорит о существовании многочленов $u(x)$ и $v(x)$, таких что выполняется равенство $f(x)u(x) + \varphi(x)v(x) = 1$, после чего предлагает умножить левую и правую часть равенства на $\varphi(x)$ и расставить скобки: $f(x)[u(x)\varpsi(x)] + [\varphi(x)\psi(x)]v(x) = \psi(x)$. Автор утверждает, что из этого равенства следует, что всякий общий делитель $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$ был бы делителем и для $\psi(x)$, однако по условию НОД $f(x)$ и $\psi(x)$ равен единице.

Четыре строчки. Две (ну, я заметил две) описки. Право же, вам стоит быть внимательнее. Если, конечно, вы хотите, чтоб вас понимали.

Я заметил, что это разные формулировки, да, но проблема в том, что я не могу понять как из равенства $f(x)[u(x)\psi(x)]+[\varphi(x)\psi(x)]v(x) = \psi(x)$ автор делает вывод, что всякий общий делитель $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$, будет также и делителем для $\psi(x)$. Этот вывод, на мой взгляд нельзя сделать ни из первой теоремы (т.к. она только про необходимость, а не про достаточность), ни из второй (т.к. предполагается что в правой части должен быть многочлен нулевой степени).

[Brukvalub]

Если левая и правая части равенства- одинаковые об'екты, левая часть на что-то делится, то может ли правая не делиться на то же самое?

[goganchic]

Brukvalub в сообщении #1492714 писал(а):

Если левая и правая части равенства- одинаковые об'екты, левая часть на что-то делится, то может ли правая не делиться на то же самое?

Может, да. Но я все равно пока не понимаю о каких объектах речь, извините

[TOTAL]

goganchic в сообщении #1492777 писал(а):

Может, да. Но я все равно пока не понимаю о каких объектах речь, извините

О взаимной простоте каких объектов идет речь?

[vpb]

Два утверждения:
1) Если $a(x)$ делится на $b(x)$, а $b(x)$ делится на $c(x)$, то $a(x)$ делится на $c(x)$ ;
2) Если $a(x)$ делится на $c(x)$, и $b(x)$ делится на $c(x)$, то $a(x)+b(x)$ делится на $c(x)$.
Понятны ли эти утверждения, и как они доказываются ?

[Odysseus]

goganchic
А вы знакомы с теорией делимости целых чисел? Идеи там те же, что с многочленами (и то, и другое это делимость в кольцах), но для начала вам может быть нагляднее на более простых примерах и поэтому понятнее. После этого многое будет практически автоматически переноситься на многочлены.

Более того, после изучения делимости в целых числах ИМХО полезно изучать общую теория делимости в кольцах, хотя бы на начальном уровне, а не продолжать изучать только частные случаи (целые числа, гауссовы числа, многочлены...). В рамках общей теории обычно многое понятнее, поскольку явно указывается на общие понятия и подходы. Частные случаи при этом тоже важны, но как иллюстрация общей теории, а не сами по себе.

Это аналогично изучению теории групп. Можно изучать только частные случаи групп и их представлений (подстановки конечных групп, циклические группы, преобразования, матрицы...), но полезно, как минимум параллельно с этим, изучать и общую теорию, хотя бы на начальном уровне. Тогда и частные случая становятся понятнее и превращаются из набора разных рецептов в логичную общую теорию.

[goganchic]

TOTAL в сообщении #1492791 писал(а):

goganchic в сообщении #1492777 писал(а):

Может, да. Но я все равно пока не понимаю о каких объектах речь, извините

О взаимной простоте каких объектов идет речь?

Мы пытаемся доказать взаимную простоту $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$. Имеем равенство: $f(x)[u(x)\psi(x)] + [\varphi(x)\psi(x)]v(x) = \psi(x)$.
Brukvalub пишет:

Цитата:

Если левая и правая части равенства- одинаковые об'екты, левая часть на что-то делится, то может ли правая не делиться на то же самое?

И я не могу понять о каких объектах речь. Если говорить о $f(x)[u(x)\psi(x)] + [\varphi(x)\psi(x)]v(x)$ и $\psi(x)$, то естественно что у левой и правой части некоторые общие делители будут те же что и у $\psi(x)$, потому что в правой части у нас $\psi(x)$, а в левой части $\psi(x)$ есть в каждом из слагаемых, но как это доказывает начальное утверждение о взаимной прототе $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$?

[goganchic]

vpb в сообщении #1492817 писал(а):

Два утверждения:
1) Если $a(x)$ делится на $b(x)$, а $b(x)$ делится на $c(x)$, то $a(x)$ делится на $c(x)$ ;
2) Если $a(x)$ делится на $c(x)$, и $b(x)$ делится на $c(x)$, то $a(x)+b(x)$ делится на $c(x)$.
Понятны ли эти утверждения, и как они доказываются ?

Эти утверждения понятны и как они доказываются тоже понятно.

[TOTAL]

goganchic в сообщении #1493197 писал(а):

TOTAL в сообщении #1492791 писал(а):

goganchic в сообщении #1492777 писал(а):

Может, да. Но я все равно пока не понимаю о каких объектах речь, извините

О взаимной простоте каких объектов идет речь?

Мы пытаемся доказать взаимную простоту $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$. Имеем равенство: $f(x)[u(x)\psi(x)] + [\varphi(x)\psi(x)]v(x) = \psi(x)$.

Если бы $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$ имели общий делитель, то этот делитель делил бы и $\psi(x)$. Это понятно?

[vpb]

goganchic в сообщении #1493229 писал(а):

Эти утверждения понятны и как они доказываются тоже понятно.

Чудно. Тогда и на этот вопрос

TOTAL в сообщении #1493234 писал(а):

Если бы $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$ имели общий делитель, то этот делитель делил бы и $\psi(x)$. Это понятно?

тоже ответить должно быть несложно...

[goganchic]

TOTAL в сообщении #1493234 писал(а):

Если бы $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$ имели общий делитель, то этот делитель делил бы и $\psi(x)$. Это понятно?

А вот это непонятно. Откуда мы делаем такой вывод? Не понимаю как это следует из равенства $f(x)[u(x)\psi(x)] + [\varphi(x)\psi(x)]v(x) = \psi(x)$. Равенство выглядит как теорема о НОД, но в той теореме в правой части стоит НОД. Можем ли мы сказать, что равенство справедливо не только для наибольшего общего делителя, но и для любого делителя двух многочленов? Думаю, что нет, т.к. $\psi(x)$ не общий делитель $f(x)$ и $\varphi(x)\psi(x)$.