Единственность решения задач электростатики

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста разобраться. В Матвееве рассматривается задача о токах в сплошных средах. Т.е. надо найти ток в однородной сплошной среде.

Сначала он пишет "Рассмотрим однородную сплошную среду с погруженными в нее электродами, между которыми протекает электрический ток

\[ \overrightarrow j = \gamma \overrightarrow E \]

Сила тока сквозь замкнутую поверхность S, окружающую один из электродов, равна

\[ I = \oint {\overrightarrow j d\overrightarrow S } = \gamma \oint {\overrightarrow E d\overrightarrow S } \]

.

Теперь представим себе, что проводящая среда удалена, а электроды рассматриваются как обкладки конденсатора. По определению емкости С конденсатора имеем:

\[ Q = CU \]

, где Q - заряд электрода, U - разность потенциалов между электродами. По теореме Гаусса получаем

\[ \oint {\overrightarrow E d\overrightarrow S } = Q/\varepsilon _0 \]

, где Е - напряженность поля конденсатора, S - та же поверхность, что и раньше."

Так вот. Дальше он пишет следующее: "Однако вследствие единственности решения задач электростатики заданная разность потенциалов между заданными электродами однозначно определяет напряженность поля. Следовательно, напряженность поля в проводящей среде, по которой протекает ток

\[ I = \gamma \oint {\overrightarrow E d\overrightarrow S } \]

, совпадает с напряженностью поля, создаваемого в вакууме между теми же электродами при той же разности потенциалов

\[ \oint {\overrightarrow E d\overrightarrow S } = Q/\varepsilon _0 \]

"

Вопрос:
Почему он говорит о единственности решения для разных случаев? В первом случае у нас есть среда, во втором случае ее нет. Т.е., как я понимаю, напряженность в среде и в вакууме должна быть разной, а он их приравнивает.

Добавлено спустя 17 минут 33 секунды:

Я наверно понял в чем дело, но хотя бы подскажите, в правильном ли направлении я думаю.

В первом случае напряженность осуществляется за счет тока между обкладками. Во втором, как поле между обкладками из-за разности их потенциалов. Т.е. ситуации все-таки равноценные, среда нужна для тока в первом случае, а вот втором она не нужна именно для эквивалентности.

Т.е. от того, какими мы путями достигаем выполнения необходимых условий, наше решение задачи не зависит, поле будет одно и тоже.

[Munin]

Да, он пользуется тем фактом, что уравнения для этих двух ситуаций совпадают (с точностью до коэффициента подобия). Речь идёт о решении дифференциальных уравнений (для векторного поля, в частных производных)
$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{Vec}=0,\quad\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{Vec}=0,$
которое в электростатике принимает вид
$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{E}=0,\quad\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{E}=0,$
а в постоянном токе -
$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{j}=0,\quad\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{j}=0,$
причём граничные условия тоже одинаковы: на поверхности электродов $\mathbf{Vec}\perp dS,\quad\oint\mathbf{Vec}\,d\mathbf{S}=I_1,I_2.$ Эти уравнения - дифференциальная форма уравнений

$$\oint\mathbf{Vec}\,d\mathbf{S}=0,\quad\oint\mathbf{Vec}\,d\mathbf{l}=0,$$

которые выполняются для любого контура и любой поверхности, если поверхность не охватывает электрода. Как решаются такие уравнения - рассказано в курсе уравнений (или методов) математической физики, а в математическом курсе дифференциальных уравнений в частных производных есть и теорема о существовании и единственности решения таких систем уравнений при определённых условиях.

[ShMaxG]

Понятно, большое спасибо.

[Munin]

Это ещё что, те же самые уравнения описывают, например, ток жидкости и натяжение мыльной плёнки, так что доказательство переносится даже на эти случаи :-)