Неравенство Чебышева

[Александрович]

$P(\left| X-M(X) \right| \geqslant a) \leqslant \frac{ D(X) }{ a^2 }$
Правильно ли я понимаю что $X$ должно отстоять от центра распределения более чем на одну сигму?

[alisa-lebovski]

Александрович в сообщении #1492156 писал(а):

Правильно ли я понимаю что $X$ должно отстоять от центра распределения более чем на одну сигму?

А как Вы его заставите?

[Александрович]

Неравенство Чебышева позволяет делать оценки только для таких $X$?

[alisa-lebovski]

Александрович в сообщении #1492159 писал(а):

Неравенство Чебышева позволяет делать оценки только для таких $X$?

Нет, только для таких $a$ (больше сигмы). Для меньших или равных $a$ оно тоже верно, но не содержательно.

[profrotter]

Удобнее обозначить $k=a\sigma_X$, где $\sigma_X=\sqrt{D(X)}$ - СКО и тогда неравенство перепишется в виде

$$P\left(|X-M(X)|\geq k\sigma_X\right)\leq\frac{1}{k^2}$$

и читаться будет так: вероятность того, что СВ примет значение, отклоняющееся от её МО на $k$ СКО не превосходит $\frac{1}{k^2}$. Например, вероятность отклониться от МО на 2 СКО не превосходит 0,25; вероятность отклониться от МО на 3 СКО не превосходит 0,1 и тд.

[Александрович]

profrotter в сообщении #1492168 писал(а):

тогда неравенство перепишется в виде

$$P\left(|X-M(X)|\geq k\sigma_X\right)\leq\frac{1}{k^2}$$

Или в

$$P(M(X)-k \sigma \leqslant X \leqslant M(X)+k \sigma) >1-\frac{ 1 }{ k^2 } \\?$$

[alisa-lebovski]

Только оба знака неравенства будут строгие.

[Александрович]

Думаю что только один.

[Александрович]

profrotter в сообщении #1492168 писал(а):

вероятность отклониться от МО на 2 СКО не превосходит 0,25; вероятность отклониться от МО на 3 СКО не превосходит 0,1 и тд.

То есть чем дальше отклонение от МО, тем ближе к нормальному? А МО и СКО это же выборочные оценки?

[Otta]

Александрович в сообщении #1492348 писал(а):

А МО и СКО это же выборочные оценки?

Нет, не выборочные.

Александрович в сообщении #1492348 писал(а):

То есть чем дальше отклонение от МО, тем ближе к нормальному?

Этой фразы не поняла. Скажите по-другому, пож-ста.

Пока так: нер-во Чебышева позволяет оценить вероятность данного или большего отклонения с.в. от ее среднего значения, не используя никакой информации о законе распределения. Если закон распределения известен, то данную вероятность можно получить и без участия нер-ва Чебышева, и разумеется, информация будет более точной.

[Александрович]

Otta в сообщении #1492364 писал(а):

Нет, не выборочные.

Это параметры неизвестного генерального распределения?

[Otta]

Да.
То есть это просто случайная величина со своими моментами. Теоретическими.

[Александрович]

Otta в сообщении #1492364 писал(а):

не используя никакой информации о законе распределения.

Кроме присущих ему первому и второму моментов?

[Otta]

Александрович в сообщении #1492369 писал(а):

Кроме присущих ему первому и второму моментов.

Разумеется. Тут обычно акцентируется внимание не на этом, а на их существовании.

-- 15.11.2020, 11:12 --

Кратко если, на пальцах, суть проста - основная "масса" значений распределения сосредоточена возле среднего, с вероятностью $8/9$ на отрезке среднеее плюс/минус три сигма. "Хвосты" маловероятны. Чем больше берется симметричный отрезок, накрывающий среднее, тем маловероятнее выпадающие из него хвосты.

[Александрович]

Otta в сообщении #1492370 писал(а):

Разумеется.

Если я пытаюсь сделать оценку вероятности попадания св в заданный интервал неизвестного мне распределения, то откуда мне ждать подарок в виде точных значений м.о. и ско этого распределения?