формулы Френе в многомерных пространствах

[flexliam]

Подскажите, как вывести коэффициенты формул Френе в N-мерном пространстве ?
Во всех учебниках рассматривается 3-мерное пространство и коэффициенты формул Френе выводятся с помощью векторного произведения.Можно ли как-нибудь вывод заменить, используя скалярное произведение векторов ?

[Александр Воронцов]

А что такое репер Френе в многомерном пространстве? В трехмерном-то все хорошо: нормаль и касательная (в натуральной параметризации) ортогональны (кроме одного вырожденного случая -- прямая) и бинормаль вводится как их скалярное произведение. А что делать в N-мерном пространстве как-то совсем непонятно...

[Egobrain]

Ну тут все просто. x=x(s) - кривая, тогда можно взять векторы x'(s), ..., x^(n-1) (s) то есть производные от первой по n-1, и применить к ним процесс ортогонализации. Получим ортонормированное семейство из n-1 векторов в R^n, и добавим к ним еще один вектор который дополнит это семейство до базиса(ортонормированного). Этот базис и будет репером Френе. А сами формулы Френе будут выражать производные построенных векторов через сами векторы. Как это вывести писать надо? Надо просто разложить каждую первую производную каждого построенного вектора по ортонормированному базису полученому изx', ... , x^(n-1) и учесть чтоt_i t_j = \delta _i_j.
P.S. как в math n-1 - ю производную обозначить?[/math]

[flexliam]

Можно подробнее про процесс ортогонализации, как их выразить , как вектор деленный на свой модуль r(s)/|r(s)|.

"
А сами формулы Френе будут выражать производные построенных векторов через сами векторы.
"
формулы я выразил , теперь не могу выразить
коэффиценты при Этих ортонормированных векторов через r'(s), r''(s)....r''''''(s)

[Egobrain]

Сначала ортогонализации. Я имел ввиду процесс ортогонализации Грамма-Шмидта:
$t_1 = \frac {\dot x } {|\dot x|}$ $t_2 = \frac {\ddot x - (\ddot x, t_1)t_1} {|\ddot x - (\ddot x, t_1)t_1| }$ и так до конца
, просто сами формулы нам непосредственно не понадобятся, а понадобится лишь тот факт, что базис- ортонормирован.
И сам вывод:
$ \dot t_i = \sum\limits_{j=1}^n \alpha _i_jt_j $ Теперь так как $ \dot t_i $ это линейная комбинация $\dot x, \dots, x^i^+^1$ то $ \dot t_i$ есть линейная комбинация $ t_1, \dots, t_i_+_1$, значит $\alpha_i_j =0$ при $j>i+1$ а так как $t_it_j = \delta_i_j$ , то $\dot t_it_j+ \dot t_jt_i = 0$ и значит $\alpha_i_i =0$ и $\alpha_i_j =0 j<i-1$ Для оставшихся коэффициентов вводим обозначения : $ \alpha_1_2 = k_1 \alpha_2_3 = k_2 \dots \alpha_n_-_1_n = k_n_-_1$ а так как $\alpha_i_i_+_1 = - \alpha_i_+_1_i $ то получаем формулы Френе $ \dot t_1 = k_1t_1 \dots \dot t_n_-_1 = -k_n_-_2t_n_-_2 + k_n_-_1t_n$ \dot t_n = -k_n_-_1t_n_-_1$, где $k_i$ - кривизны

[PSP]

Как выглядят формулы Френе в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве?
И как найти кривизины кривой в таком пространстве через её координаты , если кривая задана параметрически?

[BVR]

PSP
А они (аналоги формул Френе) есть? Там ведь проблемы с нормированием и ортогональностью

Добавлено спустя 1 час 55 минут 10 секунд:

А я помню туманно, что где-то, что-то видел. Вот вроде. В книжке Дубровин, Новиков, Фоменко Современная геометрия. В самом конце Главы 1 после параграфа Псевдоевклидовы пространства приведены задачи, где вводится аналог векторного произведения и предлагается доказать,что оно инвариантно относительно преобразований Лоренца и предлагается вывести псевдоевклидов аналог формул Френе.
Но там специфическая кривая рассматривается - времениподобная и ещё есть условия.

[Утундрий]

Нет там никаких проблем ни с нормированностью ни с ортогональностью и формулы точно так же выглядят. Сам их вывод по существу от сигнатуры содержащего кривую пространства никак не зависит.

[BVR]

Конечно, нет, если на ноль не делить...

[Утундрий]

Нет, могут быть, конешно, патологические случаи... но их и отдельно рассмотреть не зазорно.

[PSP]

Egobrain писал(а):

Сначала ортогонализации. Я имел ввиду процесс ортогонализации Грамма-Шмидта:
$t_1 = \frac {\dot x } {|\dot x|}$ $t_2 = \frac {\ddot x - (\ddot x, t_1)t_1} {|\ddot x - (\ddot x, t_1)t_1| }$ и так до конца
, просто сами формулы нам непосредственно не понадобятся, а понадобится лишь тот факт, что базис- ортонормирован.
И сам вывод:
$ \dot t_i = \sum\limits_{j=1}^n \alpha _i_jt_j $ Теперь так как $ \dot t_i $ это линейная комбинация $\dot x, \dots, x^i^+^1$ то $ \dot t_i$ есть линейная комбинация $ t_1, \dots, t_i_+_1$, значит $\alpha_i_j =0$ при $j>i+1$ а так как $t_it_j = \delta_i_j$ , то $\dot t_it_j+ \dot t_jt_i = 0$ и значит $\alpha_i_i =0$ и $\alpha_i_j =0 j<i-1$ Для оставшихся коэффициентов вводим обозначения : $ \alpha_1_2 = k_1 \alpha_2_3 = k_2 \dots \alpha_n_-_1_n = k_n_-_1$ а так как $\alpha_i_i_+_1 = - \alpha_i_+_1_i $ то получаем формулы Френе $ \dot t_1 = k_1t_1 \dots \dot t_n_-_1 = -k_n_-_2t_n_-_2 + k_n_-_1t_n$ \dot t_n = -k_n_-_1t_n_-_1$, где $k_i$ - кривизны

Вот как решается эта проблема в евклидовом пространстве:
(интересует случай, когда все кривизины постоянны)





Добавлено спустя 2 минуты 17 секунд:

BVR в сообщении #150004 писал(а):

PSP
А они (аналоги формул Френе) есть? Там ведь проблемы с нормированием и ортогональностью

Вот так предлагается решение в псевдоевклидовом пространстве:





Оригинал статьи здесь:
http://www.admin.novsu.ac.ru/uni/vestni ... %E0%ED.pdf

[irka]

подскажите, пожалуйста, как будут выглядеть формулы для кривизн и кручения в гильбертовом пространстве. в евклидовом они выражаются через векторное произведение, а в гильбертовом векторного произведения нет. должно как-то использоваться внешнее произведение...?

[PSP]

irka писал(а):

подскажите, пожалуйста, как будут выглядеть формулы для кривизн и кручения в гильбертовом пространстве. в евклидовом они выражаются через векторное произведение, а в гильбертовом векторного произведения нет. должно как-то использоваться внешнее произведение...?

Вот как они там вводятся:

[BVR]

PSP
Интересно. Но там трёхмерное пространство
А вот про гильбертово пространство - это из какой книжки?

[PSP]

BVR писал(а):

PSP
Интересно. Но там трёхмерное пространство
А вот про гильбертово пространство - это из какой книжки?

А мне нужно в псевдоевклидовом 4-х мерном пространстве.В тупике пока.
Я нарыл ещё немного материалов п кривизинам в псевдоевклидовых пространствах,
но , поскольку я не очень болшой математик, то кое-какие места поять не моргу.
В принципе , мне достаточно формул кривых с постоянными кривизинами в псевдоевклидовом 4-х мерном пространстве в параметрической форме.
.Как я понимаю ,для 4-мерного пространства кривизин должно быть 3 штуки.Если одну кривизину , так сказать, связенную со временем , приравнять нулю , то получится обыкновенная винтовая линия для евклидова пространства?

А про гильбертово - это из : "Матанализ. Функции одного переменного. Ч 3 - Шилов Г.Е."