Что такое матрица линейного преобразования?

[Vladimir Pliassov]

В сообщении делается попытка дать ответ на вопрос, поставленный в заголовке, а также показать, что линейное преобразование имеет две матрицы.


1.

У Беклемишева в http://ef.donnu-support.ru/emk/Data/BM/ ... BEKLEM.PDF стр.136

читаем:

Цитата:

"Рассмотрим два множества целых чисел: $I \{ 1,2,\ldots, m\}$ и $J \{ 1, 2, \ldots, n\}$. Через $I\times J$ обозначим множество всех пар вида $(i, j)$, где $i$ — число из $I$, а $j$ — из $J$. Матрицей называется функция на множестве $I\times J$, т.е. закон, сопоставляющий каждой паре $i, j$ некоторое число $a_j^i$."

Мы не будем называть эту функцию матрицей, будем называть ее просто функцией.

Матрицу же будем считать двухмерной - в пределах этого сообщения - таблицей элементов, причем ограничимся квадратными матрицами.

Пусть функция $a$ сопоставляет на множестве $I\times J$ каждой паре $(i, j)$ некоторое число $a_{i j}$.

Назовем элементом $a_{i j}$ функции $a$ функцию $a$ от пары $(i, j)$.

Элементы функции $a$ можно обозначить $a(i, j)$, но по традиции их обозначают $a_{i j}$.

Элементы $a_{i j}$ функции $a$ можно расположить в виде двухмерной таблицы, которая называется матрицей:

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{nn} \end {pmatrix}\eqno{(1)}.$$

Назовем матрицей функции совокупность всех элементов этой функции, расположенную в виде матрицы.

Матрица (1) обозначается $(a_{i j})$.

Обратно, если представить каждый элемент матрицы $(a_{i j})$ как функцию $a$ от пары $(i, j)$, то $(a_{i j})$ будет матрицей функции $a$.

Назовем $a_{i j}$ общим выражением элемента функции $a$.

(У Беклемишева сказано: "... некоторое число $a_j^i$", - но это неопределенное число, то есть неопределенное значение функции $a$ от неопределенного аргумента, так что $a_j^i$ это общее выражение элемента функции $a$.)

Назовем, например, $a_{2 1}$ полуобщим (или полуконкретным) выражением элемента функции $a$ от аргумента $(2, 1)$, поскольку выражение аргумента в нем конкретное, а выражение функции общее.

Назовем, например, $a_{2 1}=5$ конкретным выражением элемента функции $a$ от аргумента $(2, 1)$.

Последнее выражение соответствует записи

$$\begin {pmatrix} \times&\times\\ 5&\times \end {pmatrix},$$

где вместо крестиков можно подставить конкретные выражения остальных элементов функции $a$.

Из нее видно, что функция, значение которой равно $5$, взята от аргумента $(2, 1)$, хотя в этой записи не присутствует ни знак $2$, ни знак $1$. Мы видим это из положения $5$ в таблице, взятой в скобки.

Таким образом, при конкретном выражении элемента функции его положение в матрице показывает, какому аргументу он соответствует (при совпадении аргументов элементов функции с номерами их мест в матрице.)

То есть при конкретных выражениях элементов функции $a$ ее матрица сама является функцией $a$ (при совпадении аргументов элементов функции $a$ с номерами их мест в матрице.)

Если же матрица состоит из элементов функции $a$ в полуобщем выражении - как, например, матрица (1), - то это не так (в этом случае матрица представляет собой функцию, каждое значение которой само является функцией).

Если попытаться посмотреть на выражение

$$\begin {pmatrix} \times&\times\\ a_{21}&\times \end {pmatrix}$$

как на функцию $a$, то возникает вопрос: зачем писать индексы при $a$, если из положения элемента $a_{21}$ в матрице и так ясно, что для этого элемента аргументом функции $a$ является $(2, 1)$?

А если написать

$$\begin {pmatrix} \times&a_{21}\\ \times&\times \end {pmatrix},$$

то можно подумать, что $a_{21}$ стоит не на своем месте.

Но что значит "не на своем месте"? В отношении чего? Если речь идет о функции $a$, то, где бы ни стоял элемент $a_{21}$, значение функции $a$ от пары $2, 1$ одно и то же.

Что касается функции $a$ самой по себе, то расположение ее элементов не имеет к ней никакого отношения, оно является для нее чисто внешним и может быть совершенно произвольным, то есть даже хаотичным.

Назовем транспонированием функции $a$ замену ее на функцию $a'$, $a'(i, j)=a(j, i)$.

Если расположить полуобщие выражения элементов функции $a$ в виде матрицы:

$$\begin{pmatrix} a(11)&a(12)&\ldots&a(1 n)\\ a(21)&a(22)&\ldots&a(2 n)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a(n 1)&a(n 2)& \ldots &a(n n) \end{pmatrix} \eqno {(2)}$$

и затем транспонировать эту матрицу:

$$\begin{pmatrix} a(11)&a(21)&\ldots&a(n 1)\\ a(12)&a(22)&\ldots&a(n 2)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a(1 n)&a(2 n)& \ldots &a(n n) \end{pmatrix} \eqno {(3)}$$

будет ли транспонирована функция $a$? Нет, потому что, чтобы транспонировать функцию, а не расположение ее элементов, надо изменить саму функцию, то есть взять транспонированную к ней. При этом следует изменить также обозначение функции, взять не $a$, а, например, $a'$.

[В матрицах (2), (3) элементы могли бы быть обозначены не $a(i, j)$, а $a_{i j}$.]

Итак, при транспонировании матрицы функции сама функция не меняется.

Транспонирование ее матрицы это, так сказать, ее внешнее транспонирование, а транспонирование изменением самой функции это внутреннее транспонирование.

Когда мы видим элемент $a_{2 1}$, для нас это должно означать не то, что в матрице он стоит в строке $2$ и столбце $1$, а то, что это функция от пары $(2, 1)$ натуральных чисел.

Если в записи матрицы

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{nn} \end {pmatrix}\eqno{(1)}$$

воспринимать индексы элементов как номера строк и столбцов, то после ее транспонирования при взгляде на полученную запись

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix}, \eqno {(4)}$$

может возникнуть недоумение, потому что, например, элемент $a_{21} $ стоит на месте под номером $1 2$ - как это понять?

Но если в $a_{ij}$ под индексами при $a$ понимать аргумент функции $a$, все встает на место: любой элемент функции может стоять на любом месте в матрице, его сущность - то есть значение функции $a$ от пары $(i, j)$ - не зависит от места, которое он занимает.

Другое дело, что расположение элементов $a_{ij}$ функции $a$ в матрице может быть задано упорядоченным, например, таким, чтобы аргументы всех элементов одновременно совпадали с номерами мест в матрице (как в матрице (1)), либо все одновременно были по отношению к ним симметричны (как в матрице (4)).

В этом случае из всех возможных изменений расположения элементов матрицы может допускаться только ее транспонирование, и функция может иметь только две матрицы.

2.

Обозначим через $A$ матрицу (1) и, соответственно, через $A^T$ матрицу (4).

Чтобы в выбранном базисе определить линейное преобразование вектора $\textbf x$ в матричной форме, расположим элементы функции $a$ в виде матриц $A$ и $A^T$.

При умножении матрицы $A$ на вектор-столбец $x$ справа получим вектор-столбец, который обозначим $y$, это будет матричное выражение некоторого вектора, который естественно обозначить $\textbf y$ и который будет являться вектором-образом произведенного преобразования, при том что $\textbf x$ будет его вектором-прообразом.

Обозначим произведенное преобразование $\textbf A$.

При умножении матрицы $A^T$ на вектор-строку $x^T$ слева получим вектор-строку $y^T$, который также является матричным выражением вектора-образа $\textbf y$.

Таким образом, мы снова произведем линейное преобразование $\textbf A$ вектора $\textbf x$, но не умножением матрицы $A$ на вектор-столбец $x$ справа, а умножением матрицы $A^T$ на вектор-строку $x^T$ слева.

При умножении матрицы $A^T$ на вектор-столбец $x$ справа или при умножении матрицы $A$ на вектор-строку $x^T$ слева получается в общем случае другое преобразование вектора $\textbf x$.

Обозначим его $\textbf A'$.

(Впрочем, мы могли бы обозначить преобразования наоборот: первое как $\textbf A'$, а второе как $\textbf A$, имея в виду, что предпочитаем второе преобразование считать исходным, а первое - производным от него.)

Таким образом, одна и та же функция $a$ может быть использована для двух разных (в общем случае) преобразований.

Назовем функцию $a$ функцией линейных преобразований $\textbf A$, $\textbf A'$.

3.

Каждое из преобразований $\textbf A,\textbf A'$ могло бы быть произведено при помощи другой матрицы, а именно, матрицы $a'$, транспонированной к матрице $a$.

Для этого надо было бы расположить элементы функции $a'$ в виде двух матриц:

$$A'=\begin {pmatrix} a'_{11}&a'_{12}&\ldots&a'_{1 n}\\ a'_{21}&a'_{22}&\ldots&a'_{2 n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a'_{n 1}&a'_{n 2}&\ldots&a'_{n n} \end {pmatrix} \eqno {(5)}$$

и

$${(A')}^T=\begin {pmatrix} a'_{11}&a'_{21}&\ldots&a'_{n 1}\\ a'_{12}&a'_{22}&\ldots&a'_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a'_{1 n}&a'_{2 n}&\ldots&a'_{n n} \end {pmatrix} \eqno {(6)}$$

и умножить их на матричное выражение вектора $\textbf x$ так же, как это было сделано по отношению к матрицам $A$ и $A^T$.

Поскольку $a'_{i j}=a_{j i}$, то $A'=A^T$ и ${(A')}^T=A$, и, умножая матрицы $A'$ и ${(A')}^T$ на матричные выражения вектора $\textbf x$ (то есть на $x$ и $x^T$), мы не получим новых преобразований.

(То есть, несмотря на то, что функция линейного преобразования имеет две матрицы, а линейное преобразование имеет две функции, линейное преобразование имеет только две матрицы.)

Если транспонировать матрицу $A$, не транспонируя функцию $a$, то это все равно, как если, не транспонируя матрицу $A$, транспонировать функцию $a$, то есть заменить ее функцией $a'$:

Поэтому, вместо того чтобы транспонировать функцию $a$, можно транспонировать ее матрицу $A$.

Таким образом, применяя вместо внутреннего транспонирования функции $a$ ее внешнее транспонирование, то есть используя вместо матрицы $A'$ матрицу $A^T$ и вместо матрицы ${(A')}^T$ матрицу $A$, можно, вместо употребления обеих функций $a, a'$, ограничиться употреблением одной только функции $a$.

4.

Вернемся к определению Беклемишева, а именно, к тому, что в нем он функцию, которую мы обозначили $a$, называет матрицей.

Почему он это делает?

Наверное, потому, что, поскольку раз навсегда было решено при линейном преобразовании вектора в матричной форме умножать на него матрицу преобразования справа, а не слева, функция преобразования стала отождествляться с одним из двух своих возможных расположений в виде матрицы.

Если же принять, что матрицу функции линейного преобразования можно умножать на преобразуемый вектор в матричной форме не только справа, но и слева - предварительно транспонировав и матрицу, и вектор, - то придется признать, что, как было показано, у линейного преобразования имеется не одна, а две матрицы.

Тем не менее, для того, чтобы не уточнять каждый раз, какая из этих двух матриц имеется в виду, можно называть матрицей линейного преобразования ту матрицу, которая умножается на вектор-столбец справа, как это и делалось до сих пор.

При этом есть смысл функцию, которую мы обозначили $a$, - и которая у линейного преобразования, конечно же, одна (если не считать транспонированной к ней функции $a'$), - называть не матрицей преобразования, а функцией преобразования.


Что касается обозначений, то преобразование $\textbf A$ вектора $\textbf x$, вместо $\textbf A\textbf x$ или $\textbf x\textbf A$, можно было бы обозначать как $\textbf x \above \textbf A$ или $\textbf A\above \textbf x$, чтобы не выказывать предпочтения умножению справа или умножению слева, которые имеют равные права, но можно этого и не делать, потому что что угодно можно обозначить как угодно.

5.

Ответ на вопрос: матрица линейного преобразования это матрица его функции, причем функция линейного преобразования имеет две матрицы, а линейное преобразование имеет две функции, тем не менее, линейное преобразование имеет не четыре, а только две матрицы.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491490 писал(а):

Матрицу же будем считать двухмерной - в пределах этого сообщения - таблицей элементов

А формально, в терминах множеств, что это такое?

Vladimir Pliassov в сообщении #1491490 писал(а):

зачем писать индексы при $a$, если из положения элемента $a_{21}$ в матрице и так ясно, что для этого элемента аргументом функции $a$ является $(2, 1)$?

Потому что это утверждение, связывающее два разных объекта - переменную $a_{21}$ и функцию. Вместо $a_{21}$ там могло бы стоять $b_{21}$, число $42$ или даже $a_{12}$.

А в чем польза от всей этой деятельности для народного хозяйства? Матрицы итак записывают кто во что горазд, программисты так вообще иногда пишут их в строчку по блокам - $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, a_{13}, a_{14}, a_{23}, a_{24}, \ldots$. На то, какие числа мы в итоге будем умножать-складывать, это тоже не повлияет.

[artempalkin]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1491490 писал(а):

Вернемся к определению Беклемишева, а именно, к тому, что в нем он функцию, которую мы обозначили $a$, называет матрицей.

Почему он это делает?

В этот момент я уже ожидал психоаналитический портрет презренного Беклемишева с его необщими обозначениями, типа, "У него было трудное детство, мама не любила, одноклассники обижали, поэтому он стал отыгрываться на матрицах"

[Vladimir Pliassov]

artempalkin в сообщении #1491506 писал(а):

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1491490 писал(а):

Вернемся к определению Беклемишева, а именно, к тому, что в нем он функцию, которую мы обозначили $a$, называет матрицей.

Почему он это делает?

В этот момент я уже ожидал психоаналитический портрет презренного Беклемишева с его необщими обозначениями, типа, "У него было трудное детство, мама не любила, одноклассники обижали, поэтому он стал отыгрываться на матрицах"

Шутка понравилась, но во избежание недоразумения скажу, что я глубоко уважаю Беклемишева.

-- 10.11.2020, 13:24 --

mihaild в сообщении #1491502 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491490 писал(а):

Матрицу же будем считать двухмерной - в пределах этого сообщения - таблицей элементов

А формально, в терминах множеств, что это такое?

В этом сообщении под матрицей понимается таблица элементов. Как это будет в терминах множеств, я сейчас не могу определить. Может быть, Вы можете мне помочь?

mihaild в сообщении #1491502 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491490 писал(а):

зачем писать индексы при $a$, если из положения элемента $a_{21}$ в матрице и так ясно, что для этого элемента аргументом функции $a$ является $(2, 1)$?

Потому что это утверждение, связывающее два разных объекта - переменную $a_{21}$ и функцию. Вместо $a_{21}$ там могло бы стоять $b_{21}$, число $42$ или даже $a_{12}$.

В сообщении я написал:

Цитата:

Если попытаться посмотреть на выражение

$$\begin {pmatrix} \times&\times\\ a_{21}&\times \end {pmatrix}$$

как на функцию $a$, то возникает вопрос: зачем писать индексы при $a$, если из положения элемента $a_{21}$ в матрице и так ясно, что для этого элемента аргументом функции $a$ является $(2, 1)$?

Но

$$\begin {pmatrix} \times&\times\\ a_{21}&\times \end {pmatrix}$$

это не функция $a$, эту функцию можно обозначить $m$ (от слова "матрица"). Аргументом функции $m$ является пара (1, 2) - то есть номер места элемента $a_{21}$ в матрице, - а значением функции $m$ от этой пары является элемент $a_{21}$ функции $a$.

Что Вы здесь имеете в виду под переменной $a_{21}$ и что под функцией?

mihaild в сообщении #1491502 писал(а):

А в чем польза от всей этой деятельности для народного хозяйства? Матрицы итак записывают кто во что горазд, программисты так вообще иногда пишут их в строчку по блокам - $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, a_{13}, a_{14}, a_{23}, a_{24}, \ldots$. На то, какие числа мы в итоге будем умножать-складывать, это тоже не повлияет.

Есть противоречие в том, что я написал? Вопрос о пользе это другой вопрос.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491508 писал(а):

Может быть, Вы можете мне помочь?

Я тоже не знаю. Я всю жизнь думаю о "таблицах" как о неформальном объекте (способе записи), который заслуживает в математике не больше внимания, чем шрифт или конкретные названия функций.

Vladimir Pliassov в сообщении #1491508 писал(а):

Что Вы здесь имеете в виду под переменной $a_{21}$ и что под функцией?

У нас есть функция $m$. Запись вида $m = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ означает, что $m(2, 1) = a_{21}$ и т.д.
Тут еще возникает (не очень) интересный вопрос, как мы воспринимаем запись $a_{21}$ - как просто символ из алфавита переменных, или как значение функции $a$ в точке $(1, 2)$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1491508 писал(а):

Есть противоречие в том, что я написал?

Я не очень понял, что вы по существу написали. Откровенно говоря, пока что выглядит как запутывание обозначений и много переливаний из пустого в порожнее вокруг несложного факта $(AB)^T = B^TA^T$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1491521 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491508 писал(а):

Может быть, Вы можете мне помочь?

Я тоже не знаю. Я всю жизнь думаю о "таблицах" как о неформальном объекте (способе записи), который заслуживает в математике не больше внимания, чем шрифт или конкретные названия функций.

У меня есть определения:

Цитата:

Назовем элементом $a_{i j}$ функции $a$ функцию $a$ от пары $(i, j)$.

Цитата:

Назовем транспонированием функции $a$ замену ее на функцию $a'$, $a'(i, j)=a(j, i)$.

Элементы $a(i, j)$ могут быть обозначены как $a_{i j}$.

Если записать элементы $a_{i j}$ функции $a$ в виде матрицы $(a_{ij})$, то вместо того, чтобы транспонировать саму функцию $a$ (то есть вместо того, чтобы заменить ее на функцию $a'$), можно транспонировать матрицу.

Так что при помощи таблицы можно действовать.

mihaild в сообщении #1491521 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491508 писал(а):

Что Вы здесь имеете в виду под переменной $a_{21}$ и что под функцией?

У нас есть функция $m$. Запись вида $m = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ означает, что $m(2, 1) = a_{21}$ и т.д.
Тут еще возникает (не очень) интересный вопрос, как мы воспринимаем запись $a_{21}$ - как просто символ из алфавита переменных, или как значение функции $a$ в точке $(1, 2)$.

Как значение функции $a$ в точке $(2, 1)$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491524 писал(а):

то вместо того, чтобы транспонировать саму функцию $a$ (то есть вместо того, чтобы заменить ее на функцию $a'$), можно транспонировать матрицу

Ну и получаются две матрицы (чем бы они не были) для одной функции - исходная и транспонированная. Зачем это нужно - всё еще непонятно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1491525 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491524 писал(а):

то вместо того, чтобы транспонировать саму функцию $a$ (то есть вместо того, чтобы заменить ее на функцию $a'$), можно транспонировать матрицу

Ну и получаются две матрицы (чем бы они не были) для одной функции - исходная и транспонированная. Зачем это нужно - всё еще непонятно.

Это нужно, для того, чтобы можно было умножить матрицу не на вектор-столбец справа, а на вектор-строку слева.

Но делать это необязательно, просто есть такая возможность.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491536 писал(а):

Это нужно, для того, чтобы можно было умножить матрицу не на вектор-столбец справа, а на вектор-строку слева.

Ну уже можно транспонировать матрицу и вектор-столбец, и их перемножить. Зачем это как-то еще называть? Вычисления и результат останутся теми же.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1491537 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491536 писал(а):

Это нужно, для того, чтобы можно было умножить матрицу не на вектор-столбец справа, а на вектор-строку слева.

Ну уже можно транспонировать матрицу и вектор-столбец, и их перемножить. Зачем это как-то еще называть? Вычисления и результат останутся теми же.

Когда я писал:

Цитата:

Это нужно, для того, чтобы можно было умножить матрицу не на вектор-столбец справа, а на вектор-строку слева, -

под словом "это" я имел в виду не то, о чем писал в своем сообщении, а транспонирование матрицы.

[mihaild]

То есть вы, в дополнении к понятно определенной матрице-функции вводите непонятный объект "матрица-таблица", причем функции и транспонированной функции соответствует одна и та же пара таблиц и определяете умножение этих "таблиц" на вектора слева и справа. Вопрос, что вы хотите из этого получить, остается открытым.
Вас чем-то не устраивает имеющаяся нотация? Чем?
Отличать матрицу от сопряженной всё равно придется, они при замене базиса по-разному изменяются.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1491555 писал(а):

То есть вы, в дополнении к понятно определенной матрице-функции вводите непонятный объект "матрица-таблица", причем функции и транспонированной функции соответствует одна и та же пара таблиц и определяете умножение этих "таблиц" на вектора слева и справа. Вопрос, что вы хотите из этого получить, остается открытым.

Для меня "матрица-функция" не является достаточно понятно определенной, поэтому я не хотел бы оперировать этим понятием.

Я лучше понимаю просто функцию и просто таблицу, которую называю также матрицей.

Функция для меня это сопоставление паре натуральных чисел некоторого числа, а клетки матрицы пронумерованы, но пусты, пока в них что-нибудь не поместили. Наверное, такую пустую матрицу можно как-то строго определить.

Если взять такую пустую матрицу и слева от нее расположить пустой вектор-столбец, то, поместив в клетки матрицы соответствующие элементы функции ("Назовем элементом $a_{i j}$ функции $a$ функцию $a$ от пары $(i, j)$."), а в клетки вектора-столбца координаты преобразуемого вектора, их можно перемножить.

Мне кажется, это просто.

И еще мне кажется, что я таким взглядом "расщепил" матрицу-функцию на матрицу и функцию.

И еще: преобразование в матричной форме совершается по правилам перемножения матриц, зачем же закрывать глаза на то, что матрица может умножаться на вектор не только справа, но и слева?

mihaild в сообщении #1491555 писал(а):

Вас чем-то не устраивает имеющаяся нотация? Чем?

Хотя бы тем, что я никак не мог понять, а по своей системе понимаю.

mihaild в сообщении #1491555 писал(а):

Отличать матрицу от сопряженной всё равно придется,

Да, по обычной системе в действительном пространстве это транспонированная к той, которая умножается на вектор-столбец $x$, в комплексном - она еще и комплексно сопрягается.

mihaild в сообщении #1491555 писал(а):

они при замене базиса по-разному изменяются.

Об этом подумаю.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491576 писал(а):

Для меня "матрица-функция" не является достаточно понятно определенной, поэтому я не хотел бы оперировать этим понятием.

Вот с этого надо начинать. Если вам непонятно какое-то из стандартных понятий - нужно разбираться с ним, а не придумывать своё.

Vladimir Pliassov в сообщении #1491576 писал(а):

И еще: преобразование в матричной форме совершается по правилам перемножения матриц, зачем же закрывать глаза на то, что матрица может умножаться на вектор не только справа, но и слева?

Матрица может умножаться на вектор-столбец слева и на вектор-строку справа.
И как правило удобно записывать векторы в виде столбцов, а ковекторы в виде строк (или наоборот - это неважно; важно, что записываются по-разному). Векторы от ковекторов опять же важно отличать, особенно в комплексном случае.

Vladimir Pliassov в сообщении #1491576 писал(а):

Хотя бы тем, что я никак не мог понять, а по своей системе понимаю.

Что именно?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1491579 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491576 писал(а):

Хотя бы тем, что я никак не мог понять, а по своей системе понимаю.

Что именно?

Сопряженные преобразования (понимаю, разумеется, не в полной мере, но все же лучше).

[vpb]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491490 писал(а):

Назовем $a_{i j}$ общим выражением элемента функции $a$.

Формально говоря, конечно, верно, что матрицу можно рассматривать как функцию. Только, боюсь, если это сказать детям 17--18-ти лет, случится мгновенный обморок головы.