Сопряженные преобразования

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1490686 писал(а):

На случай обобщения на большее число размерностей.

Это что такое - тензоры?
В любом случае, если у нас есть функция, определенная на декартовом произведении, то вполне естественная операция - зафиксировать часть компонент и получить функцию, определенную на произведении оставшихся.

[Vladimir Pliassov]

arseniiv в сообщении #1490715 писал(а):

Да, так.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490708 писал(а):

более, чем двухмерные

Точнее не менее чем. На всякий случай и наверно зря.

Нет, пусть будут многомерные. Но в таком случае каким общим словом назвать строку, столбец и т.д., осью матрицы?

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490734 писал(а):

arseniiv в сообщении #1490715 писал(а):

Да, так.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490708 писал(а):

более, чем двухмерные

Точнее не менее чем. На всякий случай и наверно зря.

Нет, пусть будут многомерные. Но в таком случае каким общим словом назвать строку, столбец и т.д., осью матрицы?

Нет, наверное, рядом матрицы.

[arseniiv]

mihaild в сообщении #1490732 писал(а):

Это что такое - тензоры?

Ну да, на запись их координат на каком-то условном листе.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490734 писал(а):

Но в таком случае каким общим словом назвать строку, столбец и т.д., осью матрицы?

«Осью» — точно будет непонятно, коннотации не те. Я бы предложил никак не называть, потому что в сложном случае это малополезно, а в простом (когда два раза транспонированный столбец даёт столбец) можно писать «строка/столбец». Если сильно всё-таки хочется придумать такое понятие, я бы предложил сначала полностью перейти на обычную индексную тензорную запись, а потом называть это «тип индекса» (ковариантный, контравариантный, ну и в том сложном случае, который физики с индексной записью вместе не употребляют, напридумывать дополнительные имена).

Вообще отличать строки от столбцов глобально становится сложновато, если мы имеем дело с матрицами, соответствующими линейным преобразованиям, действующим из нескольких разных пространств в разные. Тогда в конце концов остаётся определённым только одно, что и было изначально: набор естественных спариваний $V_1\times V_2\to R$ между пространствами (где $R$ — скаляры). В абстрактной тензорной записи мы просто раскрасим индексы в разные цвета для $V_1, V_2, \ldots$ и разрешим сворачивать только пары индексов правильных цветов. В «конкретной» записи, где индексы обозначают вместе какую-то координату тензора в каком-то базисе (или наборе базисов), индекс кроме цвета пространства имеет ещё и цвет используемого в этом пространстве базиса, и эти уже при свёртках должны просто совпадать. Всё просто и потому обычно нигде явно не обозначается и не называется.

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490812 писал(а):

arseniiv в сообщении #1490715 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490708 писал(а):

более, чем двухмерные

Точнее не менее чем.

Нет, пусть будут многомерные. Но в таком случае каким общим словом назвать строку, столбец и т.д., осью матрицы?

Vladimir Pliassov в сообщении #1490812 писал(а):

Нет, наверное, рядом матрицы.

1.

Если двухмерную матрицу рассматривать как упорядоченное множество упорядоченных множеств - что выражается в двойной индексации ее элементов, - то ее одномерные подматрицы, то есть упорядоченные совокупности элементов, имеющие либо одинаковые первые, либо одинаковые вторые индексы, можно назвать, соответственно, строками и столбцами, а строки и столбцы назвать рядами.

Но в случае более высокой размерности матрицы нецелесообразно давать каждому ряду название вроде "строки" или "столбца", можно просто говорить "ряд соответствующего индекса".

Правильно?

2.

Если смотреть на тензор как на полилинейную функцию, то первый из перемножаемых векторов сворачивается (не знаю, правильно ли я выразился) с соответствующими рядами матрицы функции, второй вектор сворачивается с соответствующими рядами полученной матрицы (мерности на один меньше, чем исходная), и так далее (причем порядок векторов при этом не имеет значения) - верно?

При этом речь пока что не шла о ко- и контравариантности, потому что не рассматривались сопряженные пространства - если, конечно, ко- и контравариантность обязательно являются атрибутами сопряженных пространств.