Сопряженные преобразования

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490172 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490151 писал(а):

матричное уравнение $(A^Tx)y= x^T(Ay)$

Тут размерности не сходятся. Чтобы можно было записать левую часть равенства, $x$ должен быть столбцом, а $y$ - строкой. Чтобы записать правую часть, $x$ должен быть строкой, а $y$ - столбцом.
На самом деле векторному уравнению $(\textbf{Ax}, \textbf y) = (\textbf x, \textbf{A^* y})$ "соответствует" матричное уравнение $(Ax)^T y = x^T (A^T y)$.

Из формулы $(\textbf A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \textbf A^*\textbf y)$ видно, что

$\textbf x$ преобразуется оператором $\textbf A$,

$\textbf y$ преобразуется оператором $\textbf A^*$.

$\textbf A$ может иметь матрицей либо $A^T$ - при умножении матрицы на вектор-столбец $x$ справа, либо $A$ - при умножении матрицы на вектор-строку $x$ слева,

$\textbf A^*$ может иметь матрицей либо $A$, либо $\overline A$, в зависимости от комплексности (умножение на вектор-строку $y$ слева не применяется, так что от него выбор матрицы не зависит).

В матричной форме имеем

$(A^Tx)^T y = x^T (A y)$ или $(A^Tx)^T y = x^T (\overline A y)$ - при умножении матрицы на вектор-столбец $x$ справа,

либо

$(x^TA)y = x^T (A y)$ или $(x^TA)y = x^T (\overline A y)$ - при умножении матрицы на вектор-строку $x$ слева.


$(x^TA)y = x^T (A y)$ или $(x^TA)y = x^T (\overline A y)$ - это формулы основной идеи, они берутся вместо формул $(A^Tx)^T y = x^T (A y)$ или $(A^Tx)^T y = x^T (\overline A y)$, употребляющихся при умножении матрицы на вектор-столбец $x$ справа.

mihaild в сообщении #1490172 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490151 писал(а):

То есть во втором случае одна и та же матрица $A $ является матрицей и билинейной формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$, и преобразования $\textbf A$, и преобразования $\textbf A^*$.

Зато писать её нужно то слева, то справа.

Если взять $(x^TA)y = x^T (A y)$ (первую формулу основной идеи для вещественного пространства), то матрицу $A$ не нужно писать то слева, то справа, она стоит на месте, а векторы "бомбят" ее с обеих сторон (сначала "шарахнет" первый, а потом второй - по тому, что от нее осталось) - это два действия. Разве это хуже, чем с традиционной формулой (для вещественного пространства) $(A^Tx)^T y = x^T (A y)$, когда надо сначала взять $A^Tx$, потом транспонировать и только после этого умножить на $y$, и, кроме того заменить матрицу - это четыре действия.

Когда я говорю: "Два действия, четыре действия," - то это условно, если быть точным, то надо как следует посчитать (сколько раз транспонируется векторы, матрицы, сколько раз они переставляются относительно друг друга, может быть еще что-нибудь), но все равно, мне кажется, что при предлагаемой системе действий меньше.

В предлагаемой формуле стройности больше, она красивее, она естественнее воспринимается (особенно, для вещественного случая), такой взгляд на сопряженные преобразования может облегчить их понимание. Вместо того, чтобы говорить:

Цитата:

"Пусть $ A$ -- линейное преобразование комплексного евклидова пространства. Преобразование $A^*$, определенное условием $(Ax,y)=(x,A^*y),$ называется сопряженным к $ A$" (Гельфанд),

- что, разумеется, верно, но весьма мало очевидно, особенно для человека, который столкнулся с этой формулой впервые, $-$ можно сказать: " Если в вещественном пространстве вы возьмете матричную форму условия $(\textbf A\textbf x,\textbf y)=(\textbf x,\textbf A^*\textbf y)$ не в виде $(A^Tx)^T y = x^T (A y)$, а в виде $(x^TA)y = x^T (A y)$, то сможете производить скалярное перемножение векторов $x, y$ через матрицу $A$ как справа налево: $x^T(A y)$, так и слева направо: $(x^TA) y,$ - и так вы увидите, что преобразования $\textbf A,\textbf A^*$ зеркально сопряжены друг с другом через одну и ту же матрицу $A$."

Когда в случае вещественного пространства мы умножаем матрицу на вектор с одной стороны, это одно преобразование, а когда эту же матрицу умножаем на вектор с другой стороны, это другое преобразование, сопряженное к первому (другое - в общем случае).

[Для уточнения. Когда в вещественном пространстве мы умножаем матрицу $A$ на вектор-столбец $y$ справа, это одно преобразование, а когда эту же матрицу умножаем на вектор-строку $x^T$ с другой стороны, это другое преобразование, сопряженное к первому (другое - в общем случае).]

В комплексном пространстве это сложнее, но все же проще, чем при традиционном умножении матрицы преобразования на вектор-столбец справа.

Применяя формулу $(x^TA)y = x^T (\overline A y)$ вместо $(A^Tx)^T y = x^T (\overline A y)$ можно, как и в случае вещественного пространства, производить скалярное перемножение векторов $x, y$ через матрицу как справа налево: $\textbf x^T(\overline A \textbf y)$, так и слева направо: $(\textbf x^TA) \textbf y$.

Правда, при этом надо менять матрицу, но тут уж ничего не поделаешь, поскольку мы находимся в комплексном пространстве, и матрицы преобразований $A, \overline A$ взаимно комплексно сопряжены.

mihaild в сообщении #1490172 писал(а):

И в комплексном случае так всё равно не получится, потому что вылезет сопряжение.

Ну, во-первых, в вещественном случае не вылезет. А, во-вторых, и в комплексном не вылезет.

1. Изменения касаются только правой части формулы $(A^Tx)^T y = x^T (\overline A y)$, вместо нее мы берем $(x^TA)y$ [на том основании, что $(A^Tx)^T y = (x^TA)y$], получаем $(x^TA)y = x^T (\overline A y)$.

А комплексное сопряжение в обеих формулах - в старой и в новой, - имеется только в левой части, которую мы не трогаем.

Может возникнуть вопрос: может ли формула быть верной, если в ее правой части есть комплексное сопряжение, а в левой нет?

Но посмотрите на формулу $(\textbf A\textbf x,\textbf y)=(\textbf x,\textbf A^*\textbf y)$, у нее тоже в правой части есть преобразование $A^*$, а в левой его нет, значит без него можно обойтись, формула показывает, что тот же результат может достигаться как правой его частью, так и левой.

mihaild в сообщении #1490172 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490151 писал(а):

а в первом - две, которые получаются друг из друга транспонированием $-$ $A^T$ и $A$

В каком смысле "задействована"? Равенство связывает $x$, $y$ и $A$, какие там от них функции считаются - это уже дело десятое.

"Задействована" в смысле "участвует в формуле $(\textbf x^TA)\textbf y=\textbf x^T(A\textbf y)$ или ${(A^T\textbf x)}^T\textbf y=\textbf x^T(A\textbf y)$"

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

$\textbf A$ может иметь матрицей либо $A^T$ - при умножении матрицы на вектор-столбец $x$ справа, либо $A$ - при умножении матрицы на вектор-строку $x$ слева,

Вот тут очень полезно зафиксировать какой-то конкретный вариант, что именно называть матрицей оператора. Иначе каждый раз, когда мы говорим "матрица оператора", нам придется указывать, какая именно из двух возможных берется.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

$\textbf A^*$ может иметь матрицей либо $A$, либо $\overline A$, в зависимости от комплексности

Это что-то странное. В стандартных обозначениях матрицей оператора $\textbf A^*$ является $A^* = \overline{A}^T$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

$(A^Tx)^T y = x^T (\overline A y)$

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

$(x^TA)y = x^T (\overline A y)$

Тут что-то странное написано. Это же очень сильные условия на матрицу $A$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

чем с традиционной формулой (для вещественного пространства) $(A^Tx)^T y = x^T (A y)$,

У вас какая-то странная "традиционная формула". Если мы берем вектора-столбцы, то из формулы $(\textbf{Ax}, \textbf{y}) = (\textbf{x}, \textbf{A^* y})$ получается матричная формула $(Ax)^T y = x^T (A^T y)$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

а когда эту же матрицу умножаем на вектор с другой стороны, это другое преобразование, сопряженное к первому

Тут очень важный момент: сопряженное преобразование мы таким образом получаем только если базис ортонормирован.
Кроме того, определение Гельфанда, в отличии от вашего, не использует базисы.

Общее "про упрощение" - матрицы и вектора нам, вообще говоря, нужны только когда мы от общих рассуждений про векторные пространства переходим к конкретным примерам, где мы хотим что-то посчитать. И там транспонирование - это настолько простая операция по сравнению с умножением матриц, что её нет особого смысла учитывать.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490276 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

$\textbf A$ может иметь матрицей либо $A^T$ - при умножении матрицы на вектор-столбец $x$ справа, либо $A$ - при умножении матрицы на вектор-строку $x$ слева,

Вот тут очень полезно зафиксировать какой-то конкретный вариант, что именно называть матрицей оператора. Иначе каждый раз, когда мы говорим "матрица оператора", нам придется указывать, какая именно из двух возможных берется.

Здесь преобразование $\textbf A$ имеет не одну, а две матрицы, которые транспонированы друг к другу: одна умножается на вектор-столбец справа (как обычно), вторая умножается на вектор-строку слева.

Вторая матрица совпадает с матрицей $A$ билинейной формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$, которая "отвечает" преобразованию $\textbf A$ (Гельфанд), поэтому эту матрицу преобразования $\textbf A$ обозначим так же, как матрицу билинейной формы, то есть $A$.

(Чтобы не усложнять обозначений, не будем как-то особо обозначать эту матрицу, просто будем помнить, что это та матрица, которая умножается на вектор-строку слева.)

Соответственно $A^T$ это матрица преобразования $\textbf A$, которая умножается на вектор-столбец справа.

Преобразование $\textbf A^*$ имеет одну матрицу, которую обозначим $A^*$.

При этих условиях $A^*=\overline A$, поскольку в комплексном пространстве

Цитата:

Матрица сопряженного преобразования $ A^*$ получается из матрицы преобразования $ A$ в ортогональном базисе переходом к транспонированной и комплексно сопряженной матрице. (Гельфанд "Лекции по линейной алгебре", стр.127,
http://www.tka4.org/materials/lib/Artic ... elfand.pdf )

У Гельфанда (то есть как обычно) имеется в виду, что матрица преобразования $ \textbf A$ это $A^T$, поскольку имеется в виду умножение справа.

Если $A^T$ транспонировать и затем комплексно сопрячь, то получится матрица, комплексно сопряженная с $ A$. Обозначим ее $\overline A$.

Но если для преобразования $\textbf A$ применяется умножение слева, его матрицей является не $A^T$, а $A$, и $A$ уже не надо транспонировать (переход от умножения справа к умножению слева равносилен транспонированию матрицы), а надо только сопрячь. При этом мы также получим матрицу $\overline A$.

Итак, $\overline A$ это матрица преобразования $ \textbf A^*$ (разумеется, при умножении справа, но заметим, что относительно преобразования $ \textbf A^*$ мы рассматриваем только умножение справа - на вектор-столбец $y$.)

mihaild в сообщении #1490276 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

$\textbf A^*$ может иметь матрицей либо $A$, либо $\overline A$, в зависимости от комплексности

Это что-то странное. В стандартных обозначениях матрицей оператора $\textbf A^*$ является $A^* = \overline{A}^T$.

Насколько я понимаю, стандартные обозначения расходятся с обозначениями Гельфанда, то есть матрицы, соответствующие стандартным обозначениям, транспонированы к матрицам Гельфанда. Я, так же, как и он, исходил из того, что матрица $A$ это матрица билинейной формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$.

mihaild в сообщении #1490276 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

чем с традиционной формулой (для вещественного пространства) $(A^Tx)^T y = x^T (A y)$,

У вас какая-то странная "традиционная формула". Если мы берем вектора-столбцы, то из формулы $(\textbf{Ax}, \textbf{y}) = (\textbf{x}, \textbf{A^* y})$ получается матричная формула $(Ax)^T y = x^T (A^T y)$.

Здесь, очевидно, то же самое. Обратите внимание на то, что Ваша "традиционная формула" $(Ax)^T y = x^T (A^T y)$ и моя $(A^Tx)^T y = x^T (A y)$ отличаются взаимно транспонированными матрицами.

mihaild в сообщении #1490276 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

а когда эту же матрицу умножаем на вектор с другой стороны, это другое преобразование, сопряженное к первому

Тут очень важный момент: сопряженное преобразование мы таким образом получаем только если базис ортонормирован.

Да, конечно, он должен быть ортонормированным, иначе скалярное произведение не будет равно сумме произведений соответствующих элементов.

mihaild в сообщении #1490276 писал(а):

Кроме того, определение Гельфанда, в отличии от вашего, не использует базисы.

Предмет исследования не векторы пространства и преобразования, а их матричное выражение, векторы берутся в координатном представлении, преобразования как матрицы, и тогда необходим определенный базис.

mihaild в сообщении #1490276 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

$(A^Tx)^T y = x^T (\overline A y)$

Vladimir Pliassov в сообщении #1490263 писал(а):

$(x^TA)y = x^T (\overline A y)$

Тут что-то странное написано. Это же очень сильные условия на матрицу $A$.

Здесь, наверное, тоже недоразумение с транспонированием матриц.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

Здесь преобразование $\textbf A$ имеет не одну, а две матрицы

Вот это мне не очень нравится. Есть два способа сопоставить линейному оператору матрицу, и нам их надо как-то отличать. Говоря, что у преобразования есть две матрицы, мы теряем возможность просто по матрице восстанавливать преобразование - надо еще указать, какая из двух матриц тут у нас.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

Преобразование $\textbf A^*$ имеет одну матрицу, которую обозначим $A^*$

Что за дискриминация сопряженных преобразований? Почему у исходных две матрицы, а у сопряженных одна?

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

эту матрицу преобразования $\textbf A$ обозначим так же, как матрицу билинейной формы, то есть $A$

Ладно, давайте введём такое обозначение. Вектора всё еще считаем столбцами?

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

У Гельфанда (то есть как обычно) имеется в виду, что матрица преобразования $ \textbf A$ это $A^T$, поскольку имеется в виду умножение справа.

Вот тут надо договориться, какая из двух матриц обозначается $A$, иначе будет путаница. Мне всё равно, выбирайте вы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

Насколько я понимаю, стандартные обозначения расходятся с обозначениями Гельфанда

Я тут, возможно, погорячился с называнием их "стандартными". У Винберга матрица слева, вектор-столбец справа. У Куроша (и, видимо, Гельфанда) матрица справа, вектор-строка слева.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

Здесь, наверное, тоже недоразумение с транспонированием матриц.

Нет, здесь уже никаких недоразумений нет, тут написаны чисто матричные сильные условия на $A$.

[arseniiv]

Если сталось, что часть той каши заварил я своим постом про индексную запись и прочее (в другой теме), то по мотивам его я тогда предлагал бы писать $\mathcal A\mathbf v$ для применения к вектору и $\mathbf f\mathcal A^*$ для применения к ковектору. Тогда и определение сопряжённого хорошее: $(\mathbf f\mathcal A^*, \mathbf v) = (\mathbf f, \mathcal A\mathbf v)$, и путаницы нет, хотя и не напишешь ничего короткого в виде $\mathbf f\;\mathsf?\;\mathbf v$ без скобок и симметрично. И вот тогда вместо того можно принять соглашение, что $\mathbf f\mathcal A$ значит применение сопряжённого оператора (а иначе всё равно никак не осмыслишь).

Когда на сцену выходит скалярное произведение со всеми своими проблемами, эта запись спасается аккуратной работой уже с самим им: если нам надо превратить вектор в ковектор, мы делаем $\mathbf v^\flat$, если ковектор в вектор, мы делаем $\mathbf f^\sharp$, или можно «транспонировать» их, но не все это перенесут без мелких путаниц. Тогда то, что достигается в матрицах как $A^t v$, в честных обозначениях будет $(\mathbf v^\flat\mathcal A)^\sharp$ — да, немного громоздко. Ну тогда мы уже определим отдельно сопряжение оператора относительно скалярного произведения и как раз обозначим его $\mathcal A^t$, а определим сразу все варианты применения вот так: $\mathbf f \mathcal A^t \mathbf v = \mathbf v^\flat \mathcal A \mathbf f^\sharp$. Теперь матричное $A^t v$ ровно так же пишется по-честному как $\mathcal A^t \mathbf v$.

Мы можем начать использовать и звёздочку, особенно в комплекснозначном контексте, но кто-то может запутаться. Тут однако проблема изначально в том, что сопряжения линейных преобразований «просто так» и «через скалярное произведение» называют кто как хочет; к счастью к этим двоим пока не прибавилось внешнее транспонирование и что-нибудь ещё аналогичное. Звёздочку стоило бы использовать вместо транспонирования и в вещественном случае, или перестать придавать смысл «транспонированию» в комплексном мире. (Фокусами с эрмитовой формой такая операция не получается, зачем она?..)

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490382 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

Здесь преобразование $\textbf A$ имеет не одну, а две матрицы

Вот это мне не очень нравится. Есть два способа сопоставить линейному оператору матрицу, и нам их надо как-то отличать. Говоря, что у преобразования есть две матрицы, мы теряем возможность просто по матрице восстанавливать преобразование - надо еще указать, какая из двух матриц тут у нас.

Тут еще надо разобраться, что такое матрица. Вот определение из учебника Беклемишева.

Цитата:

"Рассмотрим два множества целых чисел: $I \{ 1,2,\ldots, m\}$ и $J \{ 1, 2, \ldots, n\}$. Через $I\times J$ обозначим множество всех пар вида $(i, j)$, где $i$ — число из $I$, а $j$ — из $J$. Матрицей называется функция на множестве $I\times J$, т.е. закон, сопоставляющий каждой паре $i, j$ некоторое число $a_j^i$."

Если смотреть на матрицу как на функцию, это одно, а если на то, как расположены ее элементы, это другое.

Есть матрица-функция, а есть матрица-таблица.

Когда полагается, что преобразование имеет одну матрицу, то имеется в виду, что это матрица-функция.

По условию преобразования значения этой функции от определенных пар натуральных чисел попарно перемножаются с соответствующими координатами преобразуемого вектора с последующим суммированием соответствующих произведений.

Но как расположены эти значения функции - в виде прямоугольной таблицы:

$$\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1 n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2 n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1}&a_{n 2}& \ldots &a_{n n} \end{pmatrix},-$$

или в виде ряда

$(\begin {matrix} \boxed {a_{11}}&a_{12}&\ldots & a_{1 n}&\boxed {a_{21}}&a_{22}&{...}&a_{2 n}&\ldots & \boxed {a_{n 1}}\end {matrix}$ $\begin {matrix}a_{n 2}&\ldots &a_{n n}\end {matrix}), - $

или еще как-нибудь, - это уже другой вопрос. (Они могли бы быть расположены даже хаотично, но тогда бы возникла проблема, как находить нужный элемент.)

Суть преобразования вектора в матричной форме в том, что определенные элементы, из которых состоит преобразуемый вектор, сочетаются - для перемножения с последующим суммированием произведений - с соответствующими элементами матрицы-функции, то есть с ее значениями от соответствующих пар натуральных чисел. Как они "найдут " друг друга, это другой вопрос. Например, удобно элементы матрицы и вектора расположить в виде прямоугольных таблиц и производить их перемножение по так называемому правилу перемножения матриц (не матриц- функций, а матриц-таблиц), но это перемножение может происходить в двух вариантах, с двумя разными (в общем случае) результатами.


Обозначим через ${fun}\above A$ матрицу-функцию преобразования $\textbf A$, а через ${tab}\above A$ матрицу-таблицу $A$ ее элементов безотносительно к тому, с какой стороны она умножается на координаты преобразуемого вектора.

Когда матрица-таблица ${tab}\above A$ умножается на вектор-столбец справа, то это одно преобразование, а когда на вектор-строку слева, то другое (в общем).

Назовем ее в первом случае $R$-матрицей и обозначим $A_R$ ($R$ - от right ), во втором случае - $L$-матрицей и обозначим ${}_L{A}$ ($L$ - от left).

Можно сказать, что матрица $A$ имеет две "ипостаси" - $A_R$ и ${}_L{A}$.

С другой стороны, одна и та же матрица-функция ${fun}\above A$ преобразования $\textbf A$ по расположению своих элементов может представлять собой матрицу-таблицу $A_R$ при умножении ее на вектор-столбец справа и матрицу-таблицу ${}_L{A^T}$ при умножении ее на вектор-строку слева.

(В исследовании проводится параллель с изложением Гельфанда, поэтому матрица-функция ${fun}\above A$ преобразования $\textbf A$ по расположению своих элементов представляет собой матрицу-таблицу $A^T_R$ при умножении ее на вектор-столбец $x$ справа и матрицу-таблицу ${}_L{A}$ при умножении ее на вектор-строку $x^T$ слева.)

Если $A$ и $A^T$ совпадают, то ${tab}\above A$ симметричная матрица, и $A_R={}_L{A}$ (при комплексном случае также).

Когда мы говорим, что у преобразования $\textbf A$ две матрицы, то имеем в виду, что у него, конечно же, одна матрица-функция $fun\above A$, элементы которой могут располагаться либо в виде прямоугольной таблицы

$${{tab}\above A}=A=\begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1 n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2 n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix},$$

либо в виде прямоугольной таблицы

$${{tab} \above A^T}=A^T=\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix},$$

и в случае, если ее элементы расположены в виде таблицы $A$ и к тому же билинейная форма $ A(\textbf x; \textbf y)$, которая "отвечает" преобразованию $\textbf A$, имеет матрицу $A$,

преобразование $\textbf A$ получается как умножением матрицы $A^T$ в "ипостаси" $A^T_R$ на на вектор-столбец справа, так и умножением матрицы $A$ в "ипостаси" ${}_L{A}$ на на вектор-строку слева.

Конечно, можно раз навсегда договориться при преобразовании умножать матрицу только на вектор-столбец справа (что и сделано), и тогда не будет всех этих дополнительных усложнений, но в таком случае представление о линейных преобразованиях будет беднее.

mihaild в сообщении #1490382 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

Преобразование $\textbf A^*$ имеет одну матрицу, которую обозначим $A^*$

Что за дискриминация сопряженных преобразований? Почему у исходных две матрицы, а у сопряженных одна?

Да, конечно, как сказано, вообще, у каждого из преобразований есть две матрицы-таблицы, но, что касается формулы $(\textbf A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \textbf A^*\textbf y)$, то относительно вектора $\textbf x$ в исследовании используются две таблицы: $A^T_R$ для умножения на $x$ и ${}_L{A}$ для умножения на $x^T$ ($A_R$ и ${}_L{A^T}$ не используются), - а относительно вектора $\textbf y$ в комплексном случае используется одна таблица $\overline A_R$ для умножения на $y$ (${}_L{\overline A}$, а также $\overline A^T_R$ и ${}_L{\overline A^T}$ не используются), в вещественном случае также используется только одна таблица - $A_R$ для умножения на $y$.

mihaild в сообщении #1490382 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

эту матрицу преобразования $\textbf A$ обозначим так же, как матрицу билинейной формы, то есть $A$

Ладно, давайте введём такое обозначение. Вектора всё еще считаем столбцами?

$A$ это, в частности, матрица-таблица преобразования $\textbf A$ в "ипостаси" ${}_LA$, поэтому она умножается на вектор-строку $x^T$ слева.

(В вещественном пространстве $A$ является также матрицей-таблицей преобразования $\textbf A^*$ в "ипостаси" $A_R$, умножается на вектор-столбец $y$ справа.)

mihaild в сообщении #1490382 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

У Гельфанда (то есть как обычно) имеется в виду, что матрица преобразования $ \textbf A$ это $A^T$, поскольку имеется в виду умножение справа.

Вот тут надо договориться, какая из двух матриц обозначается $A$, иначе будет путаница. Мне всё равно, выбирайте вы.

$A $ это матрица билинейной формы $ A(\textbf x; \textbf y)$, а также матрица-таблица преобразования $\textbf A$ в "ипостаси" ${}_LA$, а также в вещественном пространстве матрица-таблица преобразования $\textbf A^*$ в "ипостаси" $A_R$.

mihaild в сообщении #1490382 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

Насколько я понимаю, стандартные обозначения расходятся с обозначениями Гельфанда

Я тут, возможно, погорячился с называнием их "стандартными". У Винберга матрица слева, вектор-столбец справа. У Куроша (и, видимо, Гельфанда) матрица справа, вектор-строка слева.

Не знаю, как у Куроша и Винберга, но у Гельфанда относительно вектора $\textbf x$ матрица $A^T$слева, а вектор-столбец $x$ справа, соответственно, если вместо этого взять матрицу $A$, то она будет стоять справа, а вектор $x^T$ слева.

mihaild в сообщении #1490382 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

Здесь, наверное, тоже недоразумение с транспонированием матриц.

Нет, здесь уже никаких недоразумений нет, тут написаны чисто матричные сильные условия на $A$.

Что значит, что они сильные?

Vladimir Pliassov в сообщении #1490316 писал(а):

(Чтобы не усложнять обозначений, не будем как-то особо обозначать эту матрицу, просто будем помнить, что это та матрица, которая умножается на вектор-строку слева.)

Сначала я так думал, но теперь переменил мнение.

-- 03.11.2020, 15:54 --

arseniiv в сообщении #1490517 писал(а):

я тогда предлагал бы писать $\mathcal A\mathbf v$ для применения к вектору и $\mathbf f\mathcal A^*$ для применения к ковектору.

В формуле

$$(\textbf A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \textbf A^*\textbf y)$$

$\textbf x$ это вектор, а $\textbf y$ ковектор, или наоборот?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490572 писал(а):

Есть матрица-функция, а есть матрица-таблица.

А как формально определяется "матрица-таблица"?
"Матрица-функция" - стандартный математический объект. Конкретный базис задает биекцию между такими функциями и линейными операторами. Вопрос, как именно мы будем обозначать конкретную функцию, выглядит неважным - чем он вообще отличается от, например, вопроса, какой шрифт нам использовать, или писать ли нам цифры в числе слева направа или справа налево?
Умножение матриц определяется именно в терминах "матриц-функций", и транспонирование матрицы - тоже.

(Оффтоп)

Вы пишете длинные тексты, а вопросы часто возникают уже в самом начале. Я бы советовал вам экономить силы и выдавать мысли по одной, следующую уже после обсуждения предыдущей. Заодно и читать легче будет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490572 писал(а):

но в таком случае представление о линейных преобразованиях будет беднее

Непонятно почему. Вся интересная теория про линейные преобразования вообще от базиса не зависит.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490572 писал(а):

$A $ это матрица билинейной формы $ A(\textbf x; \textbf y)$,

Проблема в том, что какую из двух матриц, отличающихся транспонированием, считать матрицей билинейной формы - это всё тот же самый вопрос.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490572 писал(а):

Что значит, что они сильные?

Это неформальное утверждение, означающее, что только "небольшая" часть объеков из всех возможных этим условиям удовлетворяет.
Важно то, что те утверждения не являются тождествами.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490572 писал(а):

$\textbf x$ это вектор, а $\textbf y$ ковектор

И то и другое вектор. Скалярное произведение устанавливает биекцию между векторами и ковекторами.

Ну и раз уж упомянули ковекторы, то напишу идею, которую ИМХО важно держать в голове: "на самом деле" $\textbf A$ и $\textbf A^*$ действуют в разных пространствах, и только наличие скалярного произведения позволяет между этими пространствами установить биекцию. Но при замене базиса координаты векторов и ковекторов преобразуются по-разному, именно из этого вылезает транспонирование и сопряжение, и никакими обозначениями от этого избавиться не получится.

И еще - можете кратко, в одном-двух предложениях, написать, что вы вообще хотите сделать - в чем цель всех этих новых обозначений?

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490572 писал(а):

В формуле

$$(\textbf A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \textbf A^*\textbf y)$$

$\textbf x$ это вектор, а $\textbf y$ ковектор, или наоборот?

Если мы по умолчанию рассматриваем линейные преобразования из векторов в векторы, то так, а если вдруг например $A\colon V^*\to W^*$, то наоборот (точнее говоря, $\textbf y$ будет коковектором, но раз мы скорее всего рассматриваем лишь конечномерные пространства или гильбертовы пространства, то это то же самое что вектор). То есть это больше вопрос контекста, как мы там где-нибудь выше определили все вещи и какие умолчания ввели. (Например обычное умолчание «все написанные формулы корректны», позволяющее догадываться об определениях части букв по известным другим, типа если $\mathbf x\in V$, то если где-то написано $\mathcal A\mathbf x$, значит $\mathcal A\colon V\to W$ для какого-то линейного пространства $W$, и тогда если где-то ещё написано $\mathcal A^*\mathbf y$, то $\mathbf y\in W^*$.)

А, я думал, что скобки обозначали естественное спаривание, а не скалярное произведение, и $\mathcal A^*$ — естественное сопряжение, а не сопряжение через скалярное произведение. Если нет, то конечно оба будут одинаковыми, с учётом всего сказанного mihaild.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490583 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490572 писал(а):

Есть матрица-функция, а есть матрица-таблица.

А как формально определяется "матрица-таблица"?

А как она определяется? Вы знаете?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490609 писал(а):

А как она определяется?

Нет, я первый раз у вас увидел такой подход к формализму. Я это всегда воспринимал как способ записи, и какой он именно - неважно, все рассуждения же "на самом деле" про математические объекты. Если вы хотите рассуждать про "таблицы" - надо их определить.

[arseniiv]

Vladimir Pliassov
Если сильно хочется отличать строки от столбцов, проще всего сделать одно из этого:

1. Брать не просто функцию из $I\times J \;[{\times\ldots}]$, а функцию в паре с «сигнатурой» $(k_I, k_J \;[, \ldots])$, где $k_I, k_J, \ldots\in\{\text{строка}, \text{столбец}\}$. Правда это позволит конструировать кроме всего прочего и «вывернутые наизнанку матрицы» с сигнатурой не $(\text{строка}, \text{столбец})$, а $(\text{столбец}, \text{строка})$, которые отличаются, судя по всему, только порядком индексирования.

2. Можно избавиться от сигнатуры, введя множества помеченных натуральных чисел $\mathbb N^c = \{1^c, 2^c, 3^c, \ldots\}$ и $\mathbb N_c = \{1_c, 2_c, 3_c, \ldots\}$ — на которых определено всё то же что и на обычных натуральных, но притом мы считаем $n^c \ne n_c$ — и потребовав чтобы либо $I\subset\mathbb N^c$, либо $I\subset\mathbb N_c$ и т. д..

3. Можно взять готовое: есть правые модули $\mathbb R^n$, элементы которых мы заранее договоримся рисовать только в виде столбцов из $n$ чисел, и левые модули $\mathbb R_n$, элементы которых мы заранее договоримся рисовать только в виде строк из $n$ чисел. (На самом деле они ничем не отличаются кроме того как выглядит операция умножения столбца/строки на скаляр: в одном скаляр правый операнд, в другом левый. Так как $\mathbb R$ коммутативно, такие модули изоморфны, но вот для таких случаев как этот их может быть полезно не смешивать.) Тогда естественно рисовать элементы $\mathbb R^m \otimes \mathbb R_n$ как таблички из $m$ строк и $n$ столбцов. И $\mathbb R_n \otimes \mathbb R^m$ тоже, просто индексируемые в обратном порядке.

Ничего математически интересного или нового это однако в дела не внесёт.

-- Ср ноя 04, 2020 04:34:34 --

Вообще строки и столбцы — это не столь важно как двойственность. Если начать рисовать строки и столбцы для бесконечномерного векторного пространства, притом не топологического, то ничего нас не спасёт от $V^{**} \not\cong V$, и в таком случае если нам захочется рисовать координаты элементов $V^{**}, V^{***}$ и т. д., нам потребуется иметь какие-то новые столбцы и строки, не смешивающиеся со старыми. Это смущает! — Но в то же время если мы просто будем помнить, какому векторному пространству соответствует тот или иной индекс, и не «нижний»/«верхний» ли он по отношению к некоторому другому индексу (то есть существует естественное спаривание $V_1 \times V_2\to\mathbb R$ (это значит, что $V_1 = V_2^*$), и не назначать индексам, что вот это строчный, то столбцовый, то проблем не будет. Пусть способ рисования функции в виде таблицы останется внематематическим — ему вполне достойно.

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1490613 писал(а):

Если сильно хочется отличать строки от столбцов

То зачем вводить для этого менять определение матрицы?
У нас уже есть функция $A: I \times J \to K$. $i$-й строкой матрицы $A$ ($i \in I$) называется функция $f_i: J \to K$ такая что $f_i(j) = A(i, j)$. Аналогично $j$-м столбцом называется функция $g_j$ такая что $g_j(i) = A(i, j)$.

[arseniiv]

На случай обобщения на большее число размерностей.

[Vladimir Pliassov]

Хотелось бы разобраться.

arseniiv в сообщении #1490613 писал(а):

Если сильно хочется отличать строки от столбцов, проще всего сделать одно из этого:

1. Брать не просто функцию из $I\times J \;[{\times\ldots}]$

"Брать функцию из $I\times J \;[{\times\ldots}]$" значит "Брать функцию от аргументов из области определения из $I\times J \;[{\times\ldots}]$"?

Вы здесь рассматриваете многомерные матрицы (более, чем двухмерные)?

[arseniiv]

Да, так.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490708 писал(а):

более, чем двухмерные

Точнее не менее чем. На всякий случай и наверно зря.