-1*inf=-inf ?

[atanda]

Появился вопрос, разве $a^{-\infty}=\frac{1}{a^{\infty}}$? Ведь $-\infty \ne -1\cdot\infty$, т.к. это всего лишь значки...

[iifat]

Ну, почему бы и нет? Почему бы два не имеющих смысла набора значков не соединить знаком равенства?

[atanda]

Я и хотел об этом спросить.

[iifat]

Ну а я, собственно, хотел на это ответить.

[atanda]

Эээ, просто я видимо где-то пропустил это. Спасибо.

[Утундрий]

А что если $a=0/0$?

[iifat]

На всякий случай: $\infty$ — это не число такое. Это значок, используемый в нескольких контекстах, которые имеют различное математическое определение. как, например, $i$. Оно встречается контекстах, например, $\sin$, $\lim$, $2+3i$. Контексты имеют некий различный смысл. Так и $\infty$. Вот только в ваши выражения ни один из осмысленных контекстов не входит.

[ewert]

atanda в сообщении #1490357 писал(а):

Не Ведь $-\infty \ne -1\cdot\infty$, т.к. это всего лишь значки...

Не равняется только потому, что Вы забыли приписать знак "плюс" правой бесконечности. А так -- равняется. Это одна из тех теорем, которые обычно в явном виде не выписывают, хотя все прекрасно осознают. Если один из сомножителей стремится к отрицательному числу, а другой -- к плюс бесконечности, то произведение стремится к минус бесконечности, естественно.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

$\infty$ это не существительное, это глагол, поскольку описывает не предмет, а действие - устремление какой-то величины ко всё большим значениям без ограничений. Может быть, правильнее считать её герундием, сиречь отглагольным существительным, но если обращаться с нею, как с числом, получается полная герунда...

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1490395 писал(а):

$\infty$ это не существительное, это глагол, поскольку описывает не предмет, а действие - устремление какой-то величины ко всё большим значениям без ограничений.

It depends. Например, когда дополняют числовую прямую точкой $+\infty$ ради рассмотрения множеств бесконечной меры, то вполне существительное. И даже некоторые арифметические операции над ним определяют (но не все).

[arseniiv]

Зря последний пост в оффтопе, потому что это первое упоминание чисто алгебраического доопределения операций на новые объекты, а такое определение стоило бы считать более важным, чем «предельное», потому что оно требует только алгебры или например структуры упорядоченного поля множества. Так как в упорядочнном поле (да и кольце, но обычно я слышал только про поля) справедливо утверждение $x > 0 \wedge y > 0 \Rightarrow xy > 0$, часто берущееся аксиомой для определения такой структуры, и никуда не деться от его следствия $x > 0 \wedge y < 0 \Rightarrow xy < 0$, то при доопределении умножения на $\pm\infty$ мы можем такое утверждение захотеть сохранить, и это нам удастся (то есть удастся единственным образом), покуда второй сомножитель не будет нулём. В доопределении же сложения нам поможет $x > y \Rightarrow x + z > y + z$: захотев его выполнения для $x = +\infty$ и конечных $y$, мы удовлетворимся лишь взяв $+\infty + z = +\infty$, и т. д.. Никакой топологии, только порядок и алгебра.

Аналогично при замыкании упорядоченного кольца в колечко добавлением одной беззнаковой $\infty$ мы можем доопределить $1/\infty = 0$ и наоборот. Хотя лучше будет получить это автоматически, получив такое колечко конструкцией проективного пространства (но тут надо будет брать поле).

Ещё так же можно добавлять бесконечный элемент к натуральным числам, но это будет уже не так хорошо, потому что он будет соперничать с нулём за разложение на простые множители (все простые в бесконечных степенях).

Это всё более или менее естественные конструкции, аналогичные чисто алгебраическим пополнениям типа поля частных кольца, просто используется и порядок. Если наша алгебраическая структура имеет ещё какую-то структуру, закономерно кому-нибудь захочется пополнять и с её использованием; и не всегда это будет топология. Но видимо так как математический анализ изучается так рано, она лезет всем на ум без всякой фильтрации.

(Оффтоп)

И в том числе настаивает на открытости вопроса для случая $0^0 = 1$. Хотя если мы забываем о топологии, внезапно естественность такого определения становится намного легче увидеть.