2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:39 


07/07/20
17
Появился вопрос, разве $a^{-\infty}=\frac{1}{a^{\infty}}$? Ведь $-\infty \ne -1\cdot\infty$, т.к. это всего лишь значки...

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:40 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Ну, почему бы и нет? Почему бы два не имеющих смысла набора значков не соединить знаком равенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:45 


07/07/20
17
Я и хотел об этом спросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:47 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Ну а я, собственно, хотел на это ответить.

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:53 


07/07/20
17
Эээ, просто я видимо где-то пропустил это. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
А что если $a=0/0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 04:36 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
На всякий случай: $\infty$ — это не число такое. Это значок, используемый в нескольких контекстах, которые имеют различное математическое определение. как, например, $i$. Оно встречается контекстах, например, $\sin$, $\lim$, $2+3i$. Контексты имеют некий различный смысл. Так и $\infty$. Вот только в ваши выражения ни один из осмысленных контекстов не входит.

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 08:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
atanda в сообщении #1490357 писал(а):
Не Ведь $-\infty \ne -1\cdot\infty$, т.к. это всего лишь значки...

Не равняется только потому, что Вы забыли приписать знак "плюс" правой бесконечности. А так -- равняется. Это одна из тех теорем, которые обычно в явном виде не выписывают, хотя все прекрасно осознают. Если один из сомножителей стремится к отрицательному числу, а другой -- к плюс бесконечности, то произведение стремится к минус бесконечности, естественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва

(Оффтоп)

$\infty$ это не существительное, это глагол, поскольку описывает не предмет, а действие - устремление какой-то величины ко всё большим значениям без ограничений. Может быть, правильнее считать её герундием, сиречь отглагольным существительным, но если обращаться с нею, как с числом, получается полная герунда...

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1490395 писал(а):
$\infty$ это не существительное, это глагол, поскольку описывает не предмет, а действие - устремление какой-то величины ко всё большим значениям без ограничений.
It depends. Например, когда дополняют числовую прямую точкой $+\infty$ ради рассмотрения множеств бесконечной меры, то вполне существительное. И даже некоторые арифметические операции над ним определяют (но не все).

 Профиль  
                  
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 23:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Зря последний пост в оффтопе, потому что это первое упоминание чисто алгебраического доопределения операций на новые объекты, а такое определение стоило бы считать более важным, чем «предельное», потому что оно требует только алгебры или например структуры упорядоченного поля множества. Так как в упорядочнном поле (да и кольце, но обычно я слышал только про поля) справедливо утверждение $x > 0 \wedge y > 0 \Rightarrow xy > 0$, часто берущееся аксиомой для определения такой структуры, и никуда не деться от его следствия $x > 0 \wedge y < 0 \Rightarrow xy < 0$, то при доопределении умножения на $\pm\infty$ мы можем такое утверждение захотеть сохранить, и это нам удастся (то есть удастся единственным образом), покуда второй сомножитель не будет нулём. В доопределении же сложения нам поможет $x > y \Rightarrow x + z > y + z$: захотев его выполнения для $x = +\infty$ и конечных $y$, мы удовлетворимся лишь взяв $+\infty + z = +\infty$, и т. д.. Никакой топологии, только порядок и алгебра.

Аналогично при замыкании упорядоченного кольца в колечко добавлением одной беззнаковой $\infty$ мы можем доопределить $1/\infty = 0$ и наоборот. Хотя лучше будет получить это автоматически, получив такое колечко конструкцией проективного пространства (но тут надо будет брать поле).

Ещё так же можно добавлять бесконечный элемент к натуральным числам, но это будет уже не так хорошо, потому что он будет соперничать с нулём за разложение на простые множители (все простые в бесконечных степенях).

Это всё более или менее естественные конструкции, аналогичные чисто алгебраическим пополнениям типа поля частных кольца, просто используется и порядок. Если наша алгебраическая структура имеет ещё какую-то структуру, закономерно кому-нибудь захочется пополнять и с её использованием; и не всегда это будет топология. Но видимо так как математический анализ изучается так рано, она лезет всем на ум без всякой фильтрации.

(Оффтоп)

И в том числе настаивает на открытости вопроса для случая $0^0 = 1$. Хотя если мы забываем о топологии, внезапно естественность такого определения становится намного легче увидеть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group