Произведение бесконечно большой функции на периодическую

[getpack]

mihaild в сообщении #1490175 писал(а):

Так а проведите для неё все те же рассуждения

аа, всё, теперь я понял

mihaild в сообщении #1490175 писал(а):

А тут у вас у числителя предела не существует.

Я просто как раз доказывал от противного, у меня в числителе предел самой функции $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ и я делал предположение, что он существует, а в знаменатель ставил предел $\frac{1}{x}$, тогда получалось, что существует предел функции $\cos\frac{1}{x}$ и вылезало противоречие.

[Nemiroff]

getpack в сообщении #1490180 писал(а):

Я просто как раз доказывал от противного, у меня в числителе предел самой функции $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ и я делал предположение, что он существует, а в знаменатель ставил предел $\frac{1}{x}$, тогда получалось, что существует предел функции $\cos\frac{1}{x}$ и вылезало противоречие.

Зря вы так делали. Сформулируйте теорему о том, почему вы решили, что можете так делать.

[bot]

Функция бесконечно большая, если она стремится к бесконечности, а если она стремится к бесконечности, то она бесконечно большая. А что это означает?
Я подсказывал: для любого ... как только ... так сразу. Добавьте необходимые слова.

(пределов не касается)

а каков период функции $\cos\frac1x$?

[getpack]

Nemiroff в сообщении #1490188 писал(а):

Сформулируйте теорему

Если $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}\ne 0$, а $\lim\limits_{x\to x_0}{\varphi(x)}$ не существует, то $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\varphi(x)}$ не существует. У нас в коллоквиуме даже есть вопрос, который прямо так дословно и формулируется, просят написать доказательство, что это действительно так...
Я написал этот вопрос (у меня его не проверяли еще) как раз через теорему о пределе частного (можно как-то иначе доказать?...не зря же в задаче указали, что один из пределов обязательно не равен нулю..). Опять же, под "существованием" предела подразумевалось в т.ч. существование конечного и "бесконечного" предела. А вот в случае с $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ как раз так и получается, что один предел ненулевой: $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{1}{x}}$, а другой $\lim\limits_{x\to 0}{\cos\frac{1}{x}}$не существует, поэтому рассуждал по той же схеме

bot в сообщении #1490189 писал(а):

а каков период функции $\cos\frac1x$

Кажется, я понял: Если бы $\cos\frac{1}{x}$ была периодической, то период был бы каким-то фиксированным числом, а тут при приближении к нулю колебания на графике происходят со всё большей частотой, период меняется, а значит она непериодическая

bot в сообщении #1490189 писал(а):

А что это означает?

если функция - бесконечно большая в окрестности точки $x_0$, то тогда для сколь угодно большого положительного числа E существует окрестность точки $x_0$ такая, что для любого x из этой окрестности, причем $x\ne x_0$, модуль функции будет больше этого числа E

[Otta]

getpack в сообщении #1490193 писал(а):

как раз через теорему о пределе частного

И как она у вас формулируется?

getpack в сообщении #1490193 писал(а):

период меняется,

Период не может меняться, он либо есть, либо его нет.
----
Но это все полировка. По сути вопроса - определение предела по Гейне. Да, там где Вы"все поняли". Надеюсь.
Доказательства от противного тут лишние. Только путать.

[getpack]

Otta в сообщении #1490194 писал(а):

И как она у вас формулируется?

Если существует $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=A$ и $\lim\limits_{x\to x_0}{g(x)}=B\ne0$, то существует и предел отношения этих функций, равный отношению пределов. Вы хотите сказать, что здесь идет речь только о конечных пределах? Просто у нас формулируют существование предела, включая и бесконечные пределы, условно считая $\infty$ за число (несобственное)...но если теорема только для конечных пределов, тогда мой способ, конечно, не подходит.

Otta в сообщении #1490194 писал(а):

определение предела по Гейне

У нас не было этого определения в программе, поэтому не могу быть уверен в том, что от меня требуется именно такой способ решения задачи. Поэтому отталкиваюсь от того, что имею по лекциям на данный момент (по крайней мере пытаюсь).

[Otta]

getpack в сообщении #1490195 писал(а):

Если существует $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=A$ и $\lim\limits_{x\to x_0}{g(x)}=B\ne0$, то существует и предел отношения этих функций, равный отношению пределов. Вы хотите сказать, что здесь идет речь только о конечных пределах?

А про бесконечность делить на бесконечность вам ничего не говорили? Никаких слов? Не верю.

-- 01.11.2020, 08:39 --

getpack в сообщении #1490195 писал(а):

У нас не было этого определения в программе

Тогда смотрите на это определение и пытайтесь сопоставить его с тем, что хочет (до сих пор) от Вас bot.

[Legioner93]

Классификация точек разрыва в $\mathbb R^1$