Произведение бесконечно большой функции на периодическую

[getpack]

Здравствуйте. Встал вопрос по поводу того, является ли функция $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ бесконечно большой при $ x \to 0$.

Поначалу я рассуждал таким образом: Согласно определению, чтобы функция являлась бесконечно большой при $ x \to x_0$, её предел при $ x \to x_0$ должен быть равен бесконечности (если таковой существует). Я представил функцию $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ в виде произведения функций $\frac{1}{x}$ и $\cos\frac{1}{x}$ и попытался рассмотреть отдельно существование предела для каждого из множителей.

1) Тут сразу вопрос: правильно ли я поступаю? Из существования пределов множителей следует существование предела произведения, а всегда ли это соблюдается в обратную сторону? Вот, например, рассмотрим не произведение, а сумму: рассматриваю пределы $\sin x$ и $-\sin x$. По отдельности у них предела нет на бесконечности, а вот их (функций) сумма равна нулю, а значит и предел суммы существует и равен 0... То есть в обратную сторону свойства пределов могут и не выполняться, а значит проверка пределов множителей по отдельности тоже не имеет смысла..
2) Но если я правильно рассуждал, то если рассматривать $\lim\limits_{x \to 0}\cos\frac{1}{x}$ - он не будет существовать, поскольку $\cos\frac{1}{x}$ - периодическая и не равная константе функция, аргумент которой стремится к бесконечности. А это значит, что функция $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ также не имеет никакого предела, а значит не является бесконечно большой по определению

Затем я пошел с другой стороны, на тот случай, если изначально рассуждал неправильно - и попытался рассматривать функцию $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$, как произведение бесконечно большой $\frac{1}{x}$ на ограниченную функцию $\cos\frac{1}{x}$. Может быть я что-то неверно интерпретировал, но есть такое свойство, что такое произведение будет тоже бесконечно большой функцией, а значит $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ - бесконечно большая при $ x \to 0$ то есть у меня получились два совершенно разных ответа. В общем, я зашел в тупик Может быть при $ x \to 0$ функция $\cos\frac{1}{x}$ должна быть ограничена каким-то определенным образом, который здесь не выполняется, даже не знаю.. прошу помощи

[Otta]

getpack в сообщении #1489936 писал(а):

Из существования пределов множителей следует существование предела произведения, а всегда ли это соблюдается в обратную сторону?

Не совсем ясно, в обратную как у Вас свойство будет выглядеть, Вы полагаете?

getpack в сообщении #1489936 писал(а):

и попытался рассматривать функцию $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$, как произведение бесконечно большой $\frac{1}{x}$ на ограниченную функцию $\cos\frac{1}{x}$. Может быть я что-то неверно интерпретировал, но есть такое свойство, что такое произведение будет тоже бесконечно большой функцией

Нет такого свойства.

[getpack]

Otta в сообщении #1489937 писал(а):

Не совсем ясно, в обратную как у Вас свойство будет выглядеть, Вы полагаете?

Предел произведения функций $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)g(x)}$ существует только в случае существования пределов $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$ и $\lim\limits_{x \to x_0}{g(x)}$

[Otta]

getpack
Нет, это неправда. Подумайте над контрпримером.

[getpack]

Otta в сообщении #1489937 писал(а):

Нет такого свойства.

Да, Вы правы, сейчас посмотрел ещё раз, видимо перепутал

Otta в сообщении #1489939 писал(а):

Нет, это неправда. Подумайте над контрпримером.

единственное, что приходит в голову, это $\sin x$ и $\frac {1}{\sin x}$, произведение будет равно единице, тогда и предел на бесконечности тоже единица, а по отдельности на бесконечности предела не будет. Но это случай, когда обоих пределов нет.

А если один есть, а второго нет - тогда только так получается: Если у нас есть $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}}=\infty\ne 0$, а $\lim\limits_{x \to 0}{\cos\frac{1}{x}}$ не существует, то предел произведения $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}}$ тоже не будет существовать, потому что если предположить, что $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}}$ существует и применить теорему о пределе частного, то получится, что $\exists\frac{\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}}}{\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}=\lim\limits_{x \to 0}{\cos\frac{1}{x}}$ и мы придем к противоречию, так как этого предела не существует. Тогда $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}}$ не существует. А тогда $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ не является бесконечно большой

[Dan B-Yallay]

getpack в сообщении #1489940 писал(а):

А если один есть, а второго нет - тогда только так получается:

Подумайте еще раз. Покрепче.

[Otta]

getpack в сообщении #1489940 писал(а):

А если один есть, а второго нет - тогда только так получается: Если у нас есть $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}}=\infty\ne 0$, а $\lim\limits_{x \to 0}{\cos\frac{1}{x}}$ не существует, то предел произведения $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}}$ тоже не будет существовать,

Существовать-то он не будет, но Вам надо не это. Вам надо, чтобы он был равен бесконечности (подкласс функций, не имеющих предел). [Так что если правильно к этому всему относиться, оба предела не существуют, но один особенный - бесконечный.]
Этого проще добиться непосредственным доказательством, именно для этой функции. Определение по Гейне изучали? Вот и примените.

А если у одной функции предел равен бесконечности, а у другой не существует, то предел, конечно, не существует, но возможно, является бесконечным.

Проблема еще в том, что разные источники к бесконечным пределам относятся по-разному, некоторые, говоря в определении, что предел - это число, автоматически бесконечные пределы выносят за рамки "существующих", некоторые более к ним лояльны.

В любом случае, даже если пользоваться "лояльными" источниками.

getpack в сообщении #1489940 писал(а):

потому что если предположить, что $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}}$ существует и применить теорему о пределе частного, то получится, что $\exists\frac{\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}}}{\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{x}}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}=\lim\limits_{x \to 0}{\cos\frac{1}{x}}$

Вы не предусмотрели случай, когда числитель стремится к бесконечности. И тем самым, все это бесполезно.

[novichok2018]

Может быть так: если функция бесконечно большая, то её модуль в некоторой окрестности предела больше любого числа. Например, в некоторой окрестности нуля он больше 3. А тут функция в любой окрестности нуля обращается в нуль.

[INGELRII]

getpack в сообщении #1489940 писал(а):

А если один есть, а второго нет - тогда только так получается:

Знаете функцию Хевисайда? Доопределите ее в нуле нулем и рассмотрите произведение $H(x)$ на $H(-x)$

Что можете сказать о пределе в нуле множителей и произведения?

[Евгений Машеров]

Извините, наивный вопрос:
"Является бесконечно большой" это "имеет пределом бесконечность" или "может принимать сколь угодно большие значения"?
Рассмотренная Вами функция предела не имеет, а вот значения при приближении икса к нулю принимает сколь угодно большие.

[novichok2018]

Вроде стандартное определение б.б. - это модуль стремится к плюс бесконечности. Так?

[bot]

Так, если не понимать это синонимом бесконечно большой. Не худо бы развернуть: для любого ...

(позанудствую)

Заголовок не соответствует содержанию - периодических функций здесь нет.

[getpack]

Здравствуйте, большое спасибо всем за ответы, не мог ответить ранее, к сожалению. Постараюсь подумать над предложенными вариантами

Мы еще не проходили функцию Хевисайда и ... даже определение предела по Гейне почти не изучали, вскользь прошли последовательности

(Оффтоп)

Из-за коронавируса видимо сократили программу, иначе не могу это объяснить.. преподавателей отправляли на карантин, мы на дистанционном полностью изучаем все, не ругайте

Насчет определений...у нас вот в курсе под пределом понимается не только число, то есть если я писал, что предел не существует, то я подразумевал как конечный, так и бесконечный предел - чтобы не было недопонимания по тому, что я писал выше

В общем, я так понял, что для cos(1/x) надо рассмотреть две последовательности.
Возьмем две последовательности, которые имеют тот же предел при $n\to\infty$
К примеру
$\left\lbrace x_n\right\rbrace$=$\frac{1}{2\pi n}$$ и $\left\lbrace y_n\right\rbrace$=\cfrac{1}{2\pi n+\frac{\pi}{2}} Их пределы при $n\to\infty$ оба равны нулю. Но $\cos\frac{1}{x_n}=1$, а $\cos\frac{1}{y_n}=0$, откуда следует что $\lim\limits_{x\to 0}{\cos\frac{1}{x}}$ не существует, поскольку если в случае c $\left\lbrace y_n\right\rbrace$=\cfrac{1}{2\pi n+\frac{\pi}{2}}:$f(y_n) = \cos\frac{1}{y_n}\to0$ то какого-либо ненулевого предела при $n\to\infty$ у функции быть не может, но и ноль также не может быть пределом, поскольку есть такая последовательность $\left\lbrace x_n\right\rbrace$=$\frac{1}{2\pi n}$$, при которой $f(x_n)\to 1$.

а насчет функции $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ - если при отсутствии предела (конечного и бесконечного) у $\cos\frac{1}{x}$ то, что я выше писал в постах (через теорему о пределе частного), неправильно, тогда я совсем без идей, подумаю ещё..

Евгений Машеров в сообщении #1490074 писал(а):

"Является бесконечно большой" это "имеет пределом бесконечность" или "может принимать сколь угодно большие значения"?

Определение бб понимаю так: функция имеет пределом бесконечность (ну то есть нам такое определение давали) А так да, Вы правы, я даже сейчас график построил на компьютере, около нуля функция $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ так себя и ведет

Вообще нам говорили такую вещь: ни одна периодическая функция не имеет предела на бесконечности: ни конечного, ни бесконечного (имеется в виду, думаю, когда речь идет об бесконечном аргументе). Ну кроме случая, когда функция - константа.

bot в сообщении #1490092 писал(а):

периодических функций здесь нет

Вот здесь я совсем запутался, не понимаю, почему их нет...косинус же периодическая

[mihaild]

getpack в сообщении #1490173 писал(а):

а насчет функции $\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$

Так а проведите для неё все те же рассуждения, что и выше, только подставляйте $x_n$ и $y_n$ не в $\cos \frac{1}{x}$ а в $\frac{\cos\frac{1}{x}}{x}$.

getpack в сообщении #1490173 писал(а):

через теорему о пределе частного

Эта теорема имеет условие: "если у числителя и знаменателя существует предел", А тут у вас у числителя предела не существует.

getpack в сообщении #1490173 писал(а):

почему их нет...косинус же периодическая

А зачем вам вообще тут косинус? Вас спрашивают про $\cos \frac{1}{x}$, это совсем другая функция.

[wrest]

Но зато предел $\lim \limits_{x \to 0}\frac 1x (\cos \frac 1x + 2)= \infty$ существует (в тех "школах", где бесконечные пределы существуют, как у Фихтенгольца, с оговорками что бесконечность это символ, "несобственное число", а не число). Хотя предела у одного из сомножителей (скобки) -- нет.