Сопряженные преобразования

[Vladimir Pliassov]

В сообщении рассматривается возможность представления формулы сопряженных преобразований в виде $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ вместо $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$, где $\textbf x{\cal A}$ выражение линейного преобразования, в матричной форме совершающегося умножением матрицы преобразования на вектор не справа, как обычно, а слева.

Приводятся выдержки из учебника Гельфанда "Лекции по линейной алгебре", стр.124-126,
http://www.tka4.org/materials/lib/Artic ... elfand.pdf

1.

Возьмем числовую матрицу

$$A^T=\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix},$$

транспонированную к матрице

$$A=\begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{nn} \end {pmatrix}$$

Пусть матрица $A^T$ будет матрицей линейного преобразования $\cal A$ вектора $\textbf x$ с координатами $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$ в ортонормированном базисе в линейном пространстве, независимо от того, является ли оно вещественным или комплексным.

Когда линейное преобразование вектора совершается в матричной форме, матрица преобразования традиционно умножается на него справа:

$${\cal A}\textbf x=A^T\textbf x=\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix}\begin {pmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \vdots\\ \xi_n \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} \zeta_1\\ \zeta_2\\ \vdots\\ \zeta_n \end {pmatrix}=\textbf z, $$

где

$$\begin {matrix} \zeta_1=a_{11}\xi_1+a_{21}\xi_2+\ldots+a_{n 1}\xi_n,\\ \zeta_2=a_{12}\xi_1+a_{22}\xi_2+\ldots+a_{n 2}\xi_n,\\ .....................................................\\ \zeta_n=a_{1 n}\xi_1+a_{2 n}\xi_2+\ldots+a_{n n}\xi_n\\ \end {matrix}$$

координаты вектора-образа $\textbf z.$

Однако можно умножать ее на вектор не справа, а слева, предварительно ее транспонировав, результат при этом не изменится, если не считать того, что вектор-образ будет получен не в виде столбца, а в виде строки:

$${\cal A}\textbf x=\text x A=\begin {pmatrix} \xi_1&\xi_2&\ldots&\xi_n\\ \end {pmatrix} \begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{nn} \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} \zeta_1&\zeta_2&\ldots&\zeta_n\\ \end {pmatrix}=\textbf z,$$

где также

$$\begin {matrix} \zeta_1=a_{11}\xi_1+a_{21}\xi_2+\ldots+a_{n 1}\xi_n\\ \zeta_2=a_{12}\xi_1+a_{22}\xi_2+\ldots+a_{n 2}\xi_n\\ .....................................................\\ \zeta_n=a_{1 n}\xi_1+a_{2 n}\xi_2+\ldots+a_{n n}\xi_n.\\ \end {matrix}$$

Может возникнуть вопрос: почему вначале мы представили матрицу преобразования $\cal A$ как $A^T$, а не $A$. Это станет яснее позже, но пока что скажем, что наши обозначения совпадают с обозначениями в учебнике Гельфанда "Лекции по линейной алгебре", стр.124-126, изложение которого мы берем за основу
( http://www.tka4.org/materials/lib/Artic ... elfand.pdf ).

Цитата:

Вектор $ z$ получается из вектора $ x$ линейным преобразованием с матрицей, транспонированной к матрице $ \Vert a_{ik}\Vert$ билинейной формы $ A(x; y)$.

Разумеется, если матрицу преобразования умножать на вектор справа. (Матрицу $ \Vert a_{ik}\Vert$ мы обозначили $A$.)

Цитата:

Это преобразование мы обозначим буквой $ A$, т.е. положим $ z=Ax$.

($A$ при $x$ это не матрица, а преобразование.)

Тут возникает еще один вопрос: почему говорится о билинейной форме $ A(\textbf x; \textbf y)$?

Ответ на него можно найти в учебнике:

Цитата:

Всякому линейному преобразованию $ A$ отвечает в евклидовом пространстве билинейная форма $ A(x; y)$, задаваемая формулой

$A(x; y)\equiv(Ax,y).$

(Подробнее об этом там же.)

Таким образом, если при преобразовании $\cal A$ умножать матрицу на вектор справа, матрица преобразования представляет собой матрицу, транспонированную к матрице билинейной формы, то есть $A^T$, а если слева - то совпадает с ней, то есть равна $A$.

Исходя из этого, в первом случае будем обозначать преобразование ${\cal A}$ вектора $\textbf x$ как ${\cal A}\textbf x$, а во втором случае как $\textbf x{\cal A}$, то есть сделаем ${\cal A}\textbf x$ и $\textbf x{\cal A}$ равноправными обозначениями линейного преобразования вектора, в зависимости от того, умножается матрица преобразования на вектор справа или слева, то есть

$${\cal A}\textbf x=A^T\textbf x=\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix}\begin {pmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \vdots\\ \xi_n \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} \zeta_1\\ \zeta_2\\ \vdots\\ \zeta_n \end {pmatrix}=\textbf z, $$

$$\textbf x{\cal A}=\text x A=\begin {pmatrix} \xi_1&\xi_2&\ldots&\xi_n\\ \end {pmatrix} \begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{nn} \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} \zeta_1&\zeta_2&\ldots&\zeta_n\\ \end {pmatrix}=\textbf z.$$

2.

Сопряженные преобразования.

Цитата:

Определение 11.1 Пусть $ A$ -- линейное преобразование комплексного евклидова пространства. Преобразование $ A^*$, определенное условием $(Ax,y)=(x,A^*y),$ называется сопряженным к $ A$.

Далее.

Цитата:

Матрица сопряженного преобразования $ A^*$ получается

(в комплексном пространстве)

Цитата:

из матрицы преобразования $ A$ в ортогональном базисе переходом к транспонированной и комплексно сопряженной матрице.

Здесь матрица преобразования $ \cal A$ это $A^T$, поскольку имеется в виду умножение справа.

Если $A^T$ транспонировать и затем комплексно сопрячь, то получится матрица, комплексно сопряженная с $ A$. Обозначим ее буквой $ A'$.

Но поскольку мы для преобразования $\cal A$ применяем умножение слева, его матрицей является не $A^T$, а $A$, и $A$ уже не надо транспонировать (потому что переход от умножения справа к умножению слева равносилен транспонированию матрицы), а надо только сопрячь. При этом мы также получим матрицу $ A'$.

Итак, $ A'$ это матрица преобразования $ \cal A^*$ (разумеется, при умножении справа, но заметим, что относительно преобразования $ \cal A^*$ мы рассматриваем только умножение справа - на вектор $\textbf y$.)

В вещественном пространстве - если его рассматривать как комплексное, - комплексное сопряжение не меняет матрицы, поэтому в нем матрица преобразования $ \cal A^*$ это $A$.

Поскольку ${\cal A}\textbf x$ и $\textbf x{\cal A}$ это одно и то же преобразование ${\cal A}$ вектора $\textbf x$, условие $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$ можно выразить как $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$.

В вещественном пространстве выражению $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$ будет соответствовать матричное уравнение $(A^T\textbf x)\textbf y=\textbf x(A\textbf y)$, а выражению $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ матричное уравнение $(\textbf xA)\textbf y=\textbf x(A\textbf y)$.

Мы видим, что при втором выражении задействована только одна матрица $A$, а при первом выражении - две, которые получаются друг из друга транспонированием $-$ $A^T$ и $A$.

К тому же $A $ это матрица билинейной формы $ A(\textbf x; \textbf y)$, которая при втором выражении "отвечает" обоим сопряженным преобразованиям, а при первом выражении - только одному из них.

То есть при выражении $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ одна и та же матрица $A $ является матрицей и билинейной формы $ A(\textbf x; \textbf y)$, и преобразования ${\cal A}$, и преобразования ${\cal A}^*$.

В комплексном пространстве выражению $({\cal A}\textbf x,\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ соответствует матричное уравнение $(A^T\textbf x)\textbf y=\textbf x(A'\textbf y)$, а выражению $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ -- матричное уравнение $(\textbf xA)\textbf y=\textbf x(A'\textbf y)$.

Здесь при втором выражении задействована не одна матрица (как в вещественном пространстве), а две - $A$ и $A'$, но все же матрица билинейной формы $ A(\textbf x; \textbf y)$, то есть матрица $A$, подвергается здесь изменению только один раз - комплексно сопрягаясь для преобразования $\cal A^*$, - а при первом выражении - два раза, то есть еще и транспонируясь для преобразования $\cal A$.

3.

Такой взгляд на сопряженные преобразования может облегчить их понимание. Вместо того, чтобы говорить:

Цитата:

"Пусть $ A$ -- линейное преобразование комплексного евклидова пространства. Преобразование $A^*$, определенное условием $(Ax,y)=(x,A^*y),$ называется сопряженным к $ A$,"

- что, разумеется, верно, но весьма мало очевидно, особенно для человека, который столкнулся с этой формулой впервые, $-$ можно сказать: " Если в вещественном пространстве вы возьмете условие $({\cal A}\textbf x,\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ в виде $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$, то в матричной форме сможете производить скалярное перемножение векторов через матрицу $A$ как справа налево: $(\textbf x, {\cal A}^*\textbf y)=\textbf x(A \textbf y)$, так и слева направо: $(\textbf x{\cal A}, \textbf y)=(\textbf xA) \textbf y,$ - и так вы увидите, что преобразования зеркально сопряжены друг с другом через одну и ту же матрицу."

Когда в вещественном пространстве мы умножаем матрицу на вектор с одной стороны, это одно преобразование, а когда эту же матрицу умножаем на вектор с другой стороны, это другое преобразование, сопряженное к первому (другое - в общем случае).

В комплексном пространстве это сложнее, но все же проще, чем при выражении $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$.

Кроме того, если производить скалярное умножение $({\cal A}\textbf x,\textbf y)$ в матричной форме, надо сначала получить вектор $A\textbf x$, потом транспонировать его и только после этого умножить на $\textbf y$, то есть это еще на одно действие больше, чем при выражении $(\textbf x{\cal A},\textbf y)$.

[Pphantom]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov, было бы очень неплохо, если вы в начале первого сообщения темы кратко описывали то, что собираетесь обсуждать. В этом тексте предмет обсуждения (кажется) нашелся, но его нужно было внимательно искать; на первый же взгляд сообщение создает впечатление переписки учебника вручную без определенных целей.

[Vladimir Pliassov]

Pphantom в сообщении #1489897 писал(а):

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov, было бы очень неплохо, если вы в начале первого сообщения темы кратко описывали то, что собираетесь обсуждать. В этом тексте предмет обсуждения (кажется) нашелся, но его нужно было внимательно искать; на первый же взгляд сообщение создает впечатление переписки учебника вручную без определенных целей.

Спасибо, добавил.

[Xaositect]

Обозначения, при которых $\mathcal{A}\mathbf{x}$ и $\mathbf{x}\mathcal{A}$ это одно и то же - это вредные обозначения, потому что они не согласованы с обозначением $\mathcal{AB}$ для композиции операторов.
Вот у Вас, например, получается $(\mathcal{AB})\mathbf{x} = \mathcal{B} \mathcal{A} \mathbf{x}$.

[Vladimir Pliassov]

Xaositect в сообщении #1489907 писал(а):

Обозначения, при которых $\mathcal{A}\mathbf{x}$ и $\mathbf{x}\mathcal{A}$ это одно и то же - это вредные обозначения, потому что они не согласованы с обозначением $\mathcal{AB}$ для композиции операторов.
Вот у Вас, например, получается $(\mathcal{AB})\mathbf{x} = \mathcal{B} \mathcal{A} \mathbf{x}$.

Не могли бы Вы как можно подробнее показать, как это получается?

[Xaositect]

$(\mathcal{AB})x = (AB)^T x = (B^T A^T) x = B^T (A^T x) = \mathcal{B} (\mathcal{A} x)$

[nnosipov]

Обозначение образа вектора при линейном преобразовании, где аргумент слева, а оператор справа, встречается в "Курсе высшей алгебры" Куроша. Мотивирует он это так:

А.Г. Курош, Курс высшей алгебры, СПб., 2008, стр. 194 писал(а):

Если преобразование обозначено через $\varphi$, то образ вектора $a$ условимся записывать не через $\varphi(a)$ или $\varphi a$, что читателю было бы привычнее, а через $a\varphi$.

Мне когда-то в одном заведении приходилось читать лекции по алгебре по этому учебнику, и тема с линейными операторами была кошмаром из-за таких обозначений.

Vladimir Pliassov у Вас (в Вашем тексте) кошмар только усугубляется. Если что-то непонятно в книжке Гельфанда, то это очень странно ... и с этим надо разбираться, а не придумывать ничем не мотивированные страшилки (тем более под предлогом, что, дескать, стандартное определение непонятно). Ладно бы, это было понятие отображения, сопряженного данному отображению векторных пространств (более-менее абстрактная конструкция для неподготовленного человека). Но определение сопряженного оператора в евклидовом пространстве? Что там можно не понять?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1489894 писал(а):

Однако можно умножать ее на вектор не справа, а слева, предварительно ее транспонировав, результат при этом не изменится, если не считать того, что вектор-образ будет получен не в виде столбца, а в виде строки:

А еще исходный вектор нужно транспонировать.
Собственно да, если $Ax = y$, то $x^T A^T = y^T$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1489894 писал(а):

в виде $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ вместо $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$

Так не получится - нельзя скалярно умножать вектор-столбец на вектор-столбец. Собственно вектора-столбцы - это "на самом деле" не вектора в исходном пространстве, а функционалы на нём.
Правильно так: можно вместо $(Ax, y)$ писать $((x^* A^*)^*, y)$. Вы что-то по мотивам этого предлагаете?
А в чем польза для народного хозяйства?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1489915 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1489894 писал(а):

Однако можно умножать ее на вектор не справа, а слева, предварительно ее транспонировав, результат при этом не изменится, если не считать того, что вектор-образ будет получен не в виде столбца, а в виде строки:

А еще исходный вектор нужно транспонировать.
Собственно да, если $Ax = y$, то $x^T A^T = y^T$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1489894 писал(а):

в виде $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ вместо $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$

Так не получится - нельзя скалярно умножать вектор-столбец на вектор-столбец.

Я, кажется, понял: недоразумение оттого, что я не указывал, что, если вектор слева, то это вектор-строка, не ставил знак транспонирования. Должно быть так: $(\textbf x^T{\cal A},\textbf y)$

-- 29.10.2020, 21:08 --

nnosipov в сообщении #1489912 писал(а):

Обозначение образа вектора при линейном преобразовании, где аргумент слева, а оператор справа, встречается в "Курсе высшей алгебры" Куроша. Мотивирует он это так:

А.Г. Курош, Курс высшей алгебры, СПб., 2008, стр. 194 писал(а):

Если преобразование обозначено через $\varphi$, то образ вектора $a$ условимся записывать не через $\varphi(a)$ или $\varphi a$, что читателю было бы привычнее, а через $a\varphi$.

Наверное, у Куроша это просто обозначение. У меня имелось в виду, что $\textbf x{\cal A}=\text x^T A$, но я забыл, что надо ставить знак транспонирования и так везде и писал без него.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1489915 писал(а):

А еще исходный вектор нужно транспонировать.
Собственно да, если $Ax = y$, то $x^T A^T = y^T$.

Представляю свои ляпсусы.

Вместо ${\cal A}\textbf x=\text x A$ должно быть ${\cal A}\textbf x=\text x^T A$,

вместо $\textbf x{\cal A}=\text x A$ должно быть $\textbf x{\cal A}=\text x^T A$,

вместо

Цитата:

В вещественном пространстве выражению $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$ будет соответствовать матричное уравнение $(A^T\textbf x)\textbf y=\textbf x(A\textbf y)$, а выражению $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ матричное уравнение $(\textbf xA)\textbf y=\textbf x(A\textbf y)$.

должно быть

"В вещественном пространстве выражению $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$ будет соответствовать матричное уравнение $(A^T\textbf x)^T\textbf y=\textbf x^T(A\textbf y)$, а выражению $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ матричное уравнение $(\textbf x^TA)\textbf y=\textbf x^T(A\textbf y)$"

вместо

Цитата:

В комплексном пространстве выражению $({\cal A}\textbf x,\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ соответствует матричное уравнение $(A^T\textbf x)\textbf y=\textbf x(A'\textbf y)$, а выражению $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ -- матричное уравнение $(\textbf xA)\textbf y=\textbf x(A'\textbf y)$.

должно быть

"В комплексном пространстве выражению $({\cal A}\textbf x,\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ соответствует матричное уравнение $(A^T\textbf x)^T\textbf y=\textbf x^T(A'\textbf y)$, а выражению $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ -- матричное уравнение $(\textbf x^TA)\textbf y=\textbf x^T(A'\textbf y)$."

вместо

Цитата:

в матричной форме сможете производить скалярное перемножение векторов через матрицу $A$ как справа налево: $(\textbf x, {\cal A}^*\textbf y)=\textbf x(A \textbf y)$, так и слева направо: $(\textbf x{\cal A}, \textbf y)=(\textbf xA) \textbf y,$

должно быть

"в матричной форме сможете производить скалярное перемножение векторов через матрицу $A$ как справа налево: $(\textbf x, {\cal A}^*\textbf y)=\textbf x^T(A \textbf y)$, так и слева направо: $(\textbf x{\cal A}, \textbf y)=(\textbf x^TA) \textbf y,$"

[Vladimir Pliassov]

Xaositect в сообщении #1489911 писал(а):

$(\mathcal{AB})x = (AB)^T x = (B^T A^T) x = B^T (A^T x) = \mathcal{B} (\mathcal{A} x)$

Какие матрицы у $\cal A$ и у $\cal B$?

Если $A$ и $B$, то $(\mathcal{AB})\textbf x = (AB) \textbf x.$ Разве нет?

-- 30.10.2020, 00:31 --

Xaositect в сообщении #1489907 писал(а):

Обозначения, при которых $\mathcal{A}\mathbf{x}$ и $\mathbf{x}\mathcal{A}$ это одно и то же - это вредные обозначения, потому что они не согласованы с обозначением $\mathcal{AB}$ для композиции операторов.
Вот у Вас, например, получается $(\mathcal{AB})\mathbf{x} = \mathcal{B} \mathcal{A} \mathbf{x}$.

Наверное, вместо обозначения $\mathbf{x}\mathcal{A}$ надо взять $\mathbf{x}^T\mathcal{A}$, несмотря на то, что "что угодно можно обозначить чем угодно".

Выше в своих комментариях я написал, что просто не ставил знак транспонирования при векторе, на который матрица преобразования умножается слева - не думал об этом. Но теперь осознал.

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1489930 писал(а):

Xaositect в сообщении #1489911 писал(а):

$(\mathcal{AB})x = (AB)^T x = (B^T A^T) x = B^T (A^T x) = \mathcal{B} (\mathcal{A} x)$

Какие матрицы у $\cal A$ и у $\cal B$?

Если $A$ и $B$, то $(\mathcal{AB})\textbf x = (AB) \textbf x.$ Разве нет?

Если $A^T$ и $B^T$, то $(\mathcal{AB})x = (A^TB^T) x = A^T(B^T x)=\mathcal A(\mathcal Bx)=(\mathcal {AB})x.$

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1489930 писал(а):

Наверное, вместо обозначения $\mathbf{x}\mathcal{A}$ надо взять $\mathbf{x}^T\mathcal{A}$, несмотря на то, что "что угодно можно обозначить чем угодно".

Нет, не надо, потому что и в выражении $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$ вектор $\textbf x$ не имеет при себе знака транспонирования, то есть оно не пишется как $(\mathcal {A}\textbf x, \textbf y)=(\textbf x^T, \mathcal {A}^*\textbf y).$

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1489965 писал(а):

Нет, не надо

Надо так:$(Ax, y) = ((x^TA^T)^T, y)$. Только непонятно, в чем пафос.
(и обозначайте, пожалуйста, транспонирование и сопряжение стандартным образом, а не сменой шрифта - читать будет гораздо проще)

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1489971 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1489965 писал(а):

Нет, не надо

Надо так:$(Ax, y) = ((x^TA^T)^T, y)$. Только непонятно, в чем пафос.
(и обозначайте, пожалуйста, транспонирование и сопряжение стандартным образом, а не сменой шрифта - читать будет гораздо проще)

1.

$((x^TA^T)^T, y)$ это скалярное произведение, первый сомножитель которого записан в матричной форме. $((x^TA^T)^T, y)$ можно записать как $(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$, то есть как обычно в формуле $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$.

При этом, несмотря на то, что вектор $\textbf x$ из правой части формулы $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$ в матричной форме умножается на столбец $A\textbf y=\cal A^*\textbf y$ (в вещественном пространстве) или на столбец $A'\textbf y=\cal A^*\textbf y$ (в комплексном пространстве), в формуле он записан как вектор-столбец - без буквы $T$.

Здесь $A'$ матрица, комплексно сопряженная к матрице $A$ билинейной формы $ A(\textbf x; \textbf y)$.

Таким образом, знак $^*$ здесь это знак комплексного сопряжения.

По аналогии с этим и моем обозначении $\textbf x{\cal A}$ в составе левой части формулы $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ не надо снабжать вектор $\textbf x$ буквой $T$.

В формулах $(\cal A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \cal A^*\textbf y)$, $(\textbf x{\cal A},\textbf y)=(\textbf x,{\cal A}^*\textbf y)$ мы имеем дело с векторами вообще, то есть независимо от того, как именно на них в матричной форме умножается матрица преобразования - справа или слева, - поэтому они выписываются безотносительно к правилам перемножения матриц.

2.

Как обозначается (транспонирование и) сопряжение стандартным образом?