2-я теорема Нётер и тождество Бьянки

[schekn]

В комментариях к статье Гильберта от 1915 года, где были получены уравнения гравитационного поля ,
физик и историк В. Визгин пишет:



Я так понял из приведенной цитаты (может и ошибочно), что тождесто Бьянки и то, что система уравнений
Гильберта-Эйнштейна неполна и не хватает 4-х уравнений, мы обязаны 2-й теореме Нётер?
Но вот из формулировки теоремы:

https://wiki2.org/ru/Теорема_Нётер#Вторая_обратная_теорема_Нётер

Это как-то неочевидно.
Действительно ли , что вариация действия от $n$ потенциалов , которые зависят от $k$ координат, приводят
к независимой системе $n-k$ уравнений?

[Утундрий]

schekn в сообщении #1488802 писал(а):

система уравнений
Гильберта-Эйнштейна

Вообще-то, в цитате речь не о ней, а о т.н. "единой теории Ми".

[schekn]

Утундрий в сообщении #1488830 писал(а):

schekn в сообщении #1488802 писал(а):

система уравнений
Гильберта-Эйнштейна

Вообще-то, в цитате речь не о ней, а о т.н. "единой теории Ми".

Это тоже, но в том числе и про 2-ю теорему Нётер. Она имеет некое отношение к его выводу уравнений.

[schekn]

Странно, 9 лет назад как-то активнее народ отвечал в таких темах.

[Утундрий]

Поумнели?

[schekn]

Утундрий в сообщении #1489264 писал(а):

Поумнели?

не факт. Может просто другие проблемы.

[espe]

schekn в сообщении #1488802 писал(а):

Это как-то неочевидно.
Действительно ли , что вариация действия от $n$ потенциалов , которые зависят от $k$ координат, приводят
к независимой системе $n-k$ уравнений?

Пусть у нас действие зависит от $n$ полей $\varphi^A$, тогда у нас будет $n$ уравнений движения $\dfrac{\delta\,S}{\delta\varphi^A}=0$. Далее, пусть действие инвариантно относительно преобразовний $\delta_\varepsilon\varphi^A=R^A_i\varepsilon^i,$ $R^A_i$ --- генераторы симметрии, $\varepsilon^i$ --- параметры преобразований ($k$ штук). В силу инвариантности действия относительно преобразований $\delta_\varepsilon\varphi^A$ имеем

$$\delta_\varepsilon S=S[\varphi^A+\delta_\varepsilon\varphi^A]-S[\varphi^A]=\dfrac{\delta\,S}{\delta\varphi^A}\delta_\varepsilon\varphi^A=\dfrac{\delta\,S}{\delta\varphi^A}R^A_i\varepsilon^i\equiv0.$$

В силу произвольности параметров $\varepsilon^i$ получим $k$ тождеств $\dfrac{\delta\,S}{\delta\varphi^A}R^A_i\equiv0.$

Итого имеем $n$ уравнений движения и $k$ тождеств для них.


В частности, если действие инвариантно относительно общекоординатных преобразований ($k$-мерное пространство-время), то будем иметь $k$ тождеств на уравнения движения. Если есть ещё и э-м поле, то будет ещё калибровочная симметрия и, соответственно, будет ещё одно тождество.

[schekn]

espe
Спасибо. Осталось только понять, что такое генераторы симметрий.

[espe]

Рассмотрим пример. Пусть есть действие $S[g_{\mu\nu},A_\mu]$, зависящее от метрики и э-м поля. Это действие инвариантно относительно преобразований координат $x^{\prime\mu}=x^\mu+\varepsilon^\mu(x)$. При этом метрика и э-м поле преобразуются как

$$ \delta_\varepsilon g_{\mu\nu}(x)=g'_{\mu\nu}(x)-g_{\mu\nu}(x)=-\nabla_\mu\varepsilon_\nu-\nabla_\nu\varepsilon_\mu \qquad \qquad \delta_\varepsilon A_\mu(x)=A'_\mu(x)-A_\mu(x)=-\varepsilon^\nu\nabla_\nu A_\mu-A^\nu\nabla_\mu\varepsilon_\nu. $$

Далее

$$ \delta_\varepsilon S= \int \delta_\varepsilon g_{\mu\nu}(x)\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}(x)}\,dx + \int \delta_\varepsilon A_{\mu}(x)\frac{\delta S}{\delta A_{\mu}(x)}\,dx \equiv0. $$

Подставляем, преобразуем, получаем

$$ \delta_\varepsilon S= \int \left(2\nabla_\nu\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}} +\frac{\delta S}{\delta A_{\nu}}F_{\nu\mu} +A_\mu\nabla_\nu \frac{\delta S}{\delta A_{\nu}} \right)\varepsilon^\mu\,dx \equiv0. $$

В силу произвольности $\varepsilon^\mu(x)$ получаем тождество

$$ 2\nabla_\nu\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}} +\frac{\delta S}{\delta A_{\nu}}F_{\nu\mu} +A_\mu\nabla_\nu \frac{\delta S}{\delta A_{\nu}} \equiv0. $$

Аналогично для других симметрий. Например для калибровочного преобразования $\delta A_\mu(x) = \partial_\mu \varepsilon(x)$ можно получить ещё одно тождество.