Представление суммой квадратов.

[nnosipov]

Не получается у меня получить противоречие в уравнении $x^2-(m^2-4)y^2=m^2-1$, используя всякие модулярные штуки типа символов Лежандра/Якоби. То, что задача про неразрешимость уравнения $u^2-muv+v^2=m^2-1$ сводится к задаче про неразрешимость уравнения $x^2-(m^2-4)y^2=m^2-1$ --- это правда. В общем, предлагаю обсудить это в отдельной теме, где будет несколько иная, но тоже эквивалентная формулировка.

Upd. Вот здесь: topic143198.html

[TR63]

nnosipov, спасибо за ссылку.
Используя тамошний результат, я с помощью полу правдоподобных рассуждений свела исходное уравнение к решению уравнения $(s_1^2+1)(s_2^2+1)=(s_3^2+s_3+1)$ (здесь переменные зависимы).
Оказывается с помощью логических рассуждений получается сведение исходного уравнения к аналогичному по форме уравнению:

TR63 в сообщении #1486691 писал(а):

Распишу подробнее исходное уравнение.

$$u^2-mvu+v^2=(m-1)(m+1)$$

$(u;v;m)\in N^+$, $(m)$-нечётный параметр.
Заменой переменных оно сводится к системе уравнений
1). $v_1^2+A_1v_1-k_1=0$
2). $(4k_1+1)^2+(2A_1)^2=m_1(m_1+1)+1$

$v=4v_1$, $A_1=A_1(u;v)$, $k_1=k_1(u;v)$, $m=m(m_1;k_1)$

Сделав ещё раз замену переменных:

$c_1c+2+1=4k_1+1$
$c_1-c_2=2A_1$

получим уравнение:

$(c_1^2+1)(c_2^2+1)=m_1^2+m_1+1$

Теперь меня интересует уравнение аналогичного типа, но с независимыми переменными (т.е. как бы новая (независимо от исходной) задача.

Задача.

Существует ли в $N^+$ решение уравнения:

$$(c_1^2+1)(c_2^2+1)=(c_3^2+c_3+1)$$

Мои попытки решения.

При:

1). $c_1=c_2$
2). $c_3^2+c_3+1=p$ (простое)
3). $c_3=\{4k+1;4k\pm2\}$

решений не существует.

Если решение существует, то его можно найти перебором. (Я сомневаюсь в том, что оно существует). Прошу помочь найти решение или доказать, что оно не существует.

[Shadow]

TR63 в сообщении #1491621 писал(а):

Существует ли в $N^+$ решение уравнения:

$$(c_1^2+1)(c_2^2+1)=(c_3^2+c_3+1)$$

Заменой $c_1=x/2,c_2=y/2,c_3=z$ получается уравнение

$x^2y^2+4x^2+4y^2+4=(4z+2)^2$

которое, как было доказано, не имеет решений в натуральных числах (включая четных)

nnosipov в сообщении #1488171 писал(а):

Докажите, что не существует натуральных чисел $x$ и $y$, для которых число $x^2y^2+4x^2+4y^2+4$ оказалось бы точным квадратом.

[TR63]

TR63 в сообщении #1491621 писал(а):

Сделав ещё раз замену переменных:

$c_1c+2+1=4k_1+1$
$c_1-c_2=2A_1$

Здесь опечатка. Должно быть:$c_1c_2+1=4k_1+1$
$c_1-c_2=2A_1$

Shadow, спасибо.