Представление суммой квадратов.

[TR63]

Решение одной задачи свелось к необходимости найти $\min(m)$, при котором существует решение $(x;y)$ в уравнении

$$(4x+1)^2+(2y)^2=m(m+1)+1$$

$(x;y;n)\in N^+$, $(m)$-нечётное.

Прошу помочь его найти, если он существует. Ещё лучше - найти все $(m)$ (или серию), если существуют.

Мои попытки.

Если $(x;y)$ целые, то $\min(m)=3$, $(x;y)=(-1;1)$. При натуральных ищу перебором, исключив некоторые серии, когда решений заведомо не существует.
Случай $x=y$ пока не рассматривала. Возможно, он тоже пригодится.

[Dmitriy40]

Минимальное $m$: $m=24, x=1, y=12$.
Минимальное нечётное $m$: $m=27, x=2, y=13$.
Минимальное $m$ с условием $x=y$: $m=63, x=14, y=14$.

(Полный список решений для m<1000 с программой перебора на PARI/GP)

? for(m=1,1000, m1=m*m+m+1; for(x=1,10^9, x1=(4*x+1)^2; if(x1>=m1, break); for(y=1,10^9, y1=4*y^2; if(y1>=m1, break); if(x1+y1==m1, printf("m=%d, x=%d, y=%d\n",m,x,y); next) ) ) )
m=24, x=1, y=12
m=27, x=2, y=13
m=47, x=10, y=12
m=59, x=6, y=27
m=63, x=14, y=14
m=68, x=14, y=19
m=71, x=13, y=24
m=80, x=2, y=40
m=84, x=16, y=27
m=108, x=9, y=51
m=119, x=21, y=42
m=132, x=10, y=63
m=132, x=30, y=27
m=147, x=5, y=73
m=152, x=17, y=68
m=155, x=10, y=75
m=167, x=15, y=78
m=168, x=3, y=84
m=176, x=38, y=44
m=195, x=47, y=25
m=204, x=21, y=93
m=224, x=50, y=50
m=227, x=55, y=27
m=231, x=23, y=106
m=243, x=53, y=59
m=248, x=53, y=64
m=263, x=19, y=126
m=272, x=50, y=92
m=275, x=61, y=63
m=276, x=48, y=99
m=276, x=64, y=51
m=279, x=65, y=50
m=288, x=4, y=144
m=300, x=61, y=87
m=312, x=75, y=42
m=332, x=65, y=103
m=351, x=74, y=94
m=356, x=38, y=161
m=360, x=67, y=120
m=360, x=81, y=78
m=363, x=8, y=181
m=392, x=47, y=172
m=395, x=72, y=135
m=411, x=38, y=191
m=411, x=98, y=61
m=416, x=74, y=146
m=419, x=51, y=183
m=435, x=17, y=215
m=440, x=5, y=220
m=440, x=107, y=50
m=447, x=110, y=38
m=455, x=61, y=192
m=456, x=109, y=66
m=471, x=89, y=154
m=491, x=88, y=171
m=495, x=122, y=40
m=503, x=103, y=144
m=507, x=50, y=233
m=512, x=32, y=248
m=516, x=34, y=249
m=519, x=35, y=250
m=528, x=48, y=246
m=531, x=113, y=139
m=551, x=129, y=96
m=567, x=77, y=238
m=575, x=112, y=180
m=575, x=126, y=138
m=591, x=134, y=124
m=603, x=98, y=229
m=612, x=22, y=303
m=623, x=138, y=144
m=624, x=6, y=312
m=635, x=70, y=285
m=644, x=110, y=235
m=659, x=21, y=327
m=668, x=23, y=331
m=671, x=114, y=246
m=675, x=11, y=337
m=684, x=157, y=135
m=692, x=92, y=293
m=692, x=140, y=203
m=696, x=123, y=246
m=699, x=50, y=335
m=716, x=173, y=91
m=720, x=72, y=330
m=731, x=118, y=279
m=731, x=174, y=111
m=740, x=146, y=227
m=740, x=182, y=65
m=747, x=140, y=247
m=759, x=71, y=352
m=764, x=167, y=185
m=803, x=199, y=51
m=812, x=197, y=97
m=815, x=106, y=348
m=819, x=185, y=175
m=827, x=202, y=87
m=836, x=74, y=391
m=839, x=91, y=378
m=840, x=7, y=420
m=840, x=61, y=402
m=840, x=205, y=90
m=848, x=98, y=376
m=860, x=191, y=197
m=867, x=107, y=377
m=867, x=215, y=53
m=887, x=87, y=408
m=932, x=122, y=397
m=932, x=230, y=73
m=936, x=153, y=354
m=951, x=173, y=326
m=959, x=232, y=120
m=972, x=225, y=183
time = 26,942 ms.
?

Для некоторых $m$ начиная с $m=132$ существуют более одного решения.

[TR63]

svv,
Всё так. Это для иллюстрации, что в других областях минимум находится устно.

-- 10.10.2020, 15:02 --

Dmitriy40, спасибо.

-- 10.10.2020, 15:32 --

Минимальное решение к основному уравнению не подошло. (Это и ожидалось, но буду ещё проверять арифметику).

[Dmitriy40]

Три решения с одинаковым $m=840$ было выше, приведу более длинные решения (только с минимальным $m$):

m=2304, n=4: (216,1068) (256,1032) (472,660) (486,618)
m=7920, n=6: (22,3960) (540,3810) (972,3450) (1390,2820) (1836,1482) (1966,468)
m=15167, n=5: (910,7362) (1560,6912) (2622,5478) (3342,3582) (3790,222)
m=18872, n=7: (197,9428) (1157,9148) (2315,8222) (3845,5468) (4427,3262) (4667,1382) (4685,1112)
m=79407, n=8: (842,39668) (7400,36842) (12392,31018) (13490,29128) (16850,20992) (18632,13702) (19082,10948) (19850,508)
m=128196, n=11: (1354,64041) (2034,63969) (4918,63339) (17118,54189) (19498,50871) (20034,50031) (22774,45099) (29574,24699) (30078,22131) (30978,16431) (31594,10761)
m=181548, n=9: (3109,90561) (7029,89679) (7893,89391) (18013,83319) (19233,82221) (22329,79029) (37993,49659) (42993,29091) (44293,19809)
m=197876, n=10: (3908,98629) (9308,97171) (22688,87919) (27944,81641) (32264,74999) (40748,56099) (41564,53651) (47024,30719) (48428,20189) (49304,8071)
m=483024, n=12: (10312,240630) (29266,234312) (40056,227838) (58696,211062) (66616,201438) (85866,169812) (96216,145938) (104362,121500) (111400,93210) (115026,73512) (119400,36090) (120562,13680)
m=1002459, n=13: (13766,500473) (75482,477955) (96326,462727) (126830,432305) (154982,393895) (183782,340775) (191582,323135) (211730,268165) (227966,208223) (236282,167075) (241406,134623) (248306,67877) (249626,44477)
m=1056779, n=19: (18036,527157) (28872,525225) (60376,514407) (74740,506805) (104796,485043) (140116,447957) (166140,410835) (174456,396807) (197140,351765) (206716,329043) (214276,309093) (225072,276705) (231372,255075) (238176,228657) (250240,169455) (253516,148707) (260640,86385) (262656,56943) (264172,6915)
m=1456848, n=17: (14634,727836) (28984,726114) (43848,723126) (90738,705456) (104184,697986) (118408,688854) (162418,651984) (178888,634506) (188104,623754) (203818,603684) (241528,545214) (252504,524946) (305064,397926) (360234,107364) (362218,76116) (363384,49086) (363474,46344)
m=1514399, n=16: (53196,749688) (71250,743670) (164562,681930) (182500,663420) (196900,646740) (233250,596430) (248812,570720) (282562,503970) (293362,478650) (305700,446700) (323746,392562) (329650,372390) (359106,239838) (370636,154488) (374226,114762) (376386,81762)
m=2518272, n=14: (36760,1256988) (58342,1253718) (135702,1229538) (141952,1226712) (225112,1175892) (296352,1110912) (301990,1104822) (315270,1089882) (320800,1083408) (385560,995388) (607702,328962) (619672,222372) (624280,162852) (626710,119838)
m=2541503, n=18: (3358,1270734) (93504,1256916) (115374,1249626) (173064,1222704) (202888,1204224) (221214,1191246) (224974,1188426) (243048,1174104) (342784,1069956) (364654,1040634) (523054,721434) (534144,688164) (578478,525606) (587784,482544) (616078,310806) (620544,272964) (634888,49776) (635374,2874)

Статистика количества решений для $m<10^6$: 80995 любых, 53087 по одной паре (x,y), 20672 по две пары, 4100 по три пары, 2207 по четыре пары, 516 по пять пар, 210 по 6 пар, 103 по 7 пар, 64 по 8 пар, 22 по 9 пар, 11 по 10 пар, 2 по 11 пар и 1 по 12 пар.

[Dmitriy40]

TR63 в сообщении #1486555 писал(а):

Случай $x=y$ пока не рассматривала. Возможно, он тоже пригодится.

Это очень жёсткое условие, я нашёл лишь следующие решения:

m=63, n=1: (14,14)
m=224, n=1: (50,50)
m=20447, n=1: (4572,4572)
m=72288, n=4: (12388,26316) (16164,16164) (17698,7314) (17874,5334)
m=6584031, n=1: (1472234,1472234)
m=23276672, n=2: (4404080,7607048) (5204822,5204822)
m=2120037695, n=2: (401123326,692849382) (474054840,474054840)
m=7495016256, n=2: (66553438,3745143486) (1675936584,1675936584)
m=682645553919, n=1: (152644186310,152644186310)
m=2413371957920, n=1: (539646375290,539646375290)

[TR63]

Распишу подробнее исходное уравнение. Оно имеет вид

$$u^2-mvu+v^2=(m-1)(m+1)$$

$(u;v;m)\in N^+$, $(m)$-нечётный параметр.
Заменой переменных оно сводится к системе уравнений
1). $v_1^2+A_1v_1-k_1=0$
2). $(4k_1+1)^2+(2A)^2=m_1(m_1+1)+1$

$v=4v_1$, $A_1=A_1(u;v)$, $k_1=k_1(u;v)$, $m=m(m_1;k_1)$

Т.к. не доказано, что $\min(m)=\min(m_1)$, то надо проверять все решения уравнения $(2)$ для уравнения $(1)$. (Здесь у меня сомнение: корректны ли рассуждения. Если бы $(A_1;k_1)$ были независимы, то понятно, что корректны; но они зависимы. Существенно ли это? Т.е. можно ли утверждать, что, если все решения уравнения $(2)$ не подходят к уравнению $(1)$, то исходное уравнение не имеет решений.) Если рассуждение корректно (а все решения вряд ли удастся найти), то можно пойти в обход: свести исходное уравнение к уравнению Пелля

$$q_1^2-(m^2-4)v_2^2=m^2-1$$

$v=2v_2=4v_1$
Если это уравнение Пелля имеет одно решение, то решений бесконечно. Если система имеет ограниченное количество решений, то получим противоречие. Это будет означать, что исходное уравнение не имеет решений. Если исходное уравнение имеет решение, то оно должно найтись экспериментально (численно из Пелля). Наличие решения в исходном уравнении докажет некорректность рассуждений, приведённых выше или что система имеет бесконечное количество решений.
Осталось выяснить, имеет ли исходное уравнение минимальное решение.

[Shadow]

TR63 в сообщении #1486691 писал(а):

Распишу подробнее исходное уравнение. Оно имеет вид

$$u^2-mvu+v^2=(m-1)(m+1)$$

Оно не имеет решений в целых числах $(u,v,m)$

[Dmitriy40]

Shadow
Ну как же не имеет если есть целых 2 очевидных решения $m=\pm 1, u=0, v=0$? Может в натуральных не имеет?

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1486691 писал(а):

$$q_1^2-(m^2-4)v_2^2=m^2-1$$

Необходимое условие разрешимости уравнения $x^2-ay^2=b$ такое: $a$ — квадрат по $\mod b,\ b$ — квадрат по $\mod a.$
$m^2-4 \mod m^2-1 \equiv -3.$ Значит, должны существовать $t,k$ такие, что $t^2+3=k(m^2-1).$ Cлева по $\mod 8$ возможно $3,4,7$, справа при нечетном $m$ — ноль. Противоречие.


p.s. это верно при условии вз. простоты слагаемых левой части уравнения. Если предположить наличие $\gcd (q_1,v_2)=d>1$, ситуация не столь однозначная, но решений всё равно не видно. В двух словах: первоначальные условия задачи требуют $m \equiv 3,11 \mod 12$, но для такого $m$ сократимая дробь $(m^2-1)/d^2$ не является числом вида $p^2+3q^2,$ т.е. всё равно упираемся в кв. невычет.

Исправлено 12.10.2020

[Shadow]

Dmitriy40 в сообщении #1486707 писал(а):

Shadow
Ну как же не имеет если есть целых 2 очевидных решения $m=\pm 1, u=0, v=0$? Может в натуральных не имеет?

Вы правы. Я один знак перепутал - ошибся

-- 11.10.2020, 15:31 --

Andrey A На самом деле там уравнение Пелля

$(2u-mv)^2-(m^2-4)v^2=4(m^2-1)$

или

$X^2-(m^2-4)Y^2=4(m^2-1)$

Там четверочка влево, если опять не ошибся. Но да, если $X,Y$ четные, то ок

[Andrey A]

Shadow в сообщении #1486716 писал(а):

Но да, если $X,Y$ четные...

Они четные, иначе опять по $\mod 8$ не растет.

[TR63]

Shadow в сообщении #1486716 писал(а):

Но да, если $X,Y$ четные, то ок

Т.е. доказано, что решений не существует.
Всем спасибо.

Исходное уравнение сконструировано по аналогии с уравнением $u^2-mvu+v^2=(m-2)(m-3)$ из "Олимпиадного раздела". Там доказано для частного (?) случая, что оно не имеет решений. Меня интересует общий случай. Т.е. существует ли решение этого уравнения при $(u;v;m)\in N^+$, $(m)$-нечётное.
Я свела это уравнение к системе из двух Пеллей
1). $p_1^2-(t_2^2+4)v_1^2=t_1^2-1$
2). $q^2-(t_2^2+4)t_1^2=4(1-t_2^2)$
Далее доказала, что при взаимно простых $(t_1;t_2)$ решений не существует.

Вопрос: существует ли решение уравнения $u^2-mvu+v^2=(m-2)(m-3)$ при $(u;v;m)\in N^+$, $(m)$-нечётное.

[Dmitriy40]

TR63 в сообщении #1486807 писал(а):

Вопрос: существует ли решение уравнения $u^2-mvu+v^2=(m-2)(m-3)$ при $(u;v;m)\in N^+$, $(m)$-нечётное.

Для малых (до $1000$) значений переменных — нет.

[TR63]

Dmitriy40, спасибо за помощь.
Думаю, что решений не существует, т.к., с другой стороны, в источнике доказано (если я правильно поняла), что, если решения существуют, то их количество ограниченно. А из Пелля следует бесконечность количества решений, если существует хотя бы одно. Т.е. получаем противоречие.

[nnosipov]

TR63
Загадочный источник укажите.