2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение двух последовательностей сходится неравномерно
Сообщение17.10.2020, 14:51 


14/02/20
832
Задача состоит в том, чтобы найти такие равномерно сходящиеся на $[0;1]$ функциональные последовательности $U_n(x)$ и $V_n(x)$, чтобы последовательность $U_n(x)\cdot V_n(x)$ равномерно на этом отрезке не сходилась.

Возможно, нужно подобрать такие последовательности, чтобы их произведение было $x^n$, потому что она не будет равномерно сходиться на этом отрезке... но что-то я не могу придумать таких последовательностей. Буду рад любым идеям!

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение двух последовательностей сходится неравномерно
Сообщение17.10.2020, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Могут ли такие последовательности состоять из непрерывных функций? Могут ли оба предела последовательностей одновременно быть ограниченными функциями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение двух последовательностей сходится неравномерно
Сообщение17.10.2020, 18:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Чуть детальнее. Если $u_n(x)$ равномерно стремятся к нулю и функция $V(x)$ ограничена, то и их произведение $u_n(x)V(x)$, разумеется, тоже равномерно стремится к нулю. А если $V(x)$ не ограничена?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение двух последовательностей сходится неравномерно
Сообщение17.10.2020, 23:37 


14/02/20
832
demolishka ewert

Применим обычный матанский прием (везде я подразумеваю зависимость от $x$):

$|U_nV_n-UV|=|U_nV_n-U_nV+U_nV-UV|=|U_n(V_n-V)+V(U_n-U)|\leqslant |U_n|\cdot |V-V_n|+|V|\cdot |U_n-U|<\varepsilon_1|U_n|+\varepsilon_2 |V|$

где эпсилоны можно сделать сколь угодно малыми для всех $x$, если увеличивать $n$.

Получается, что, чтобы у произведения последовательностей был хотя бы шанс не сходиться равномерно к произведению пределов, нужно, чтобы либо функции одной из последовательностей где-то были бесконечно большими, либо один из пределов где-то был бесконечно большим. Правильно такое рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение двух последовательностей сходится неравномерно
Сообщение18.10.2020, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Почти правильно, только почему бесконечно большим-то? В каждой точке может быть ограничен, главное чтобы общего на весь отрезок ограничения не было.
Ну а для неограниченных пример подобрать уже должно быть просто - $U_n$ можно взять вообще все одними и теми же, а $V_n$ отличающимися от $V$ так, что после домножение на большое значение $U$ мы получим большое отличие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение двух последовательностей сходится неравномерно
Сообщение18.10.2020, 10:22 


14/02/20
832
mihaild
Да, я вроде понял.

К примеру, возьмем гениальную последовательность $U_n(x)=\frac 1 {1-x}$. Она будет сходиться равномерно сама к себе. Кстати, если требование в том, чтобы функции были определены всюду, можно дополнить ее в $1$ нулем (или еще чем-то).

$V_n(x)=\left(\frac x2\right)^n$. Такая последовательность сходится равномерно к $0$ на $[0;1]$. Произведение этих последовательностей $\frac {\left(\frac x2\right)^n}{1-x}$ тоже будет сходиться поточечно к нулю, но не равномерно, потому что каждая из функций является бесконечно большой в $1$.

Да, спасибо, я понял суть таких примеров.

mihaild в сообщении #1487626 писал(а):
В каждой точке может быть ограничен, главное чтобы общего на весь отрезок ограничения не было.

Теоретически такое вроде бы возможно, но придумать такой пример еще тяжелее (мне и предыдущий почему-то было трудно придумать). К тому же уважаемый (ая) demolishka намекнул(а)
demolishka в сообщении #1487570 писал(а):
Могут ли такие последовательности состоять из непрерывных функций?

что вроде бы последовательности должны состоять из разрывных функций...

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение двух последовательностей сходится неравномерно
Сообщение18.10.2020, 12:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
artempalkin в сообщении #1487649 писал(а):
что вроде бы последовательности должны состоять из разрывных функций...

Тут дело вовсе не в разрывности, а именно в неограниченности. То, что непрерывные функции неограниченными быть не могут -- это, если угодно, уже побочный эффект.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение двух последовательностей сходится неравномерно
Сообщение18.10.2020, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
artempalkin в сообщении #1487649 писал(а):
Теоретически такое вроде бы возможно, но придумать такой пример еще тяжелее (мне и предыдущий почему-то было трудно придумать).
Так вы такой и придумали - $\frac{1}{1 - x}$, доопределенная каким-то числом в $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение двух последовательностей сходится неравномерно
Сообщение18.10.2020, 19:29 


14/02/20
832
mihaild в сообщении #1487663 писал(а):
Так вы такой и придумали - $\frac{1}{1 - x}$, доопределенная каким-то числом в $1$.

А, да?

Я подумал, вы имеете в виду последовательность ограниченных функций, сходящуюся к неограниченной... хотя тогда, конечно, равномерной сходимости быть не может.

Получается, единственная ситуация - это неограниченные функции по крайней мере в одной из последовательностей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group