Произведение двух последовательностей сходится неравномерно

[artempalkin]

Задача состоит в том, чтобы найти такие равномерно сходящиеся на $[0;1]$ функциональные последовательности $U_n(x)$ и $V_n(x)$, чтобы последовательность $U_n(x)\cdot V_n(x)$ равномерно на этом отрезке не сходилась.

Возможно, нужно подобрать такие последовательности, чтобы их произведение было $x^n$, потому что она не будет равномерно сходиться на этом отрезке... но что-то я не могу придумать таких последовательностей. Буду рад любым идеям!

[demolishka]

Могут ли такие последовательности состоять из непрерывных функций? Могут ли оба предела последовательностей одновременно быть ограниченными функциями?

[ewert]

Чуть детальнее. Если $u_n(x)$ равномерно стремятся к нулю и функция $V(x)$ ограничена, то и их произведение $u_n(x)V(x)$, разумеется, тоже равномерно стремится к нулю. А если $V(x)$ не ограничена?..

[artempalkin]

demolishka ewert

Применим обычный матанский прием (везде я подразумеваю зависимость от $x$):

$|U_nV_n-UV|=|U_nV_n-U_nV+U_nV-UV|=|U_n(V_n-V)+V(U_n-U)|\leqslant |U_n|\cdot |V-V_n|+|V|\cdot |U_n-U|<\varepsilon_1|U_n|+\varepsilon_2 |V|$

где эпсилоны можно сделать сколь угодно малыми для всех $x$, если увеличивать $n$.

Получается, что, чтобы у произведения последовательностей был хотя бы шанс не сходиться равномерно к произведению пределов, нужно, чтобы либо функции одной из последовательностей где-то были бесконечно большими, либо один из пределов где-то был бесконечно большим. Правильно такое рассуждение?

[mihaild]

Почти правильно, только почему бесконечно большим-то? В каждой точке может быть ограничен, главное чтобы общего на весь отрезок ограничения не было.
Ну а для неограниченных пример подобрать уже должно быть просто - $U_n$ можно взять вообще все одними и теми же, а $V_n$ отличающимися от $V$ так, что после домножение на большое значение $U$ мы получим большое отличие.

[artempalkin]

mihaild
Да, я вроде понял.

К примеру, возьмем гениальную последовательность $U_n(x)=\frac 1 {1-x}$. Она будет сходиться равномерно сама к себе. Кстати, если требование в том, чтобы функции были определены всюду, можно дополнить ее в $1$ нулем (или еще чем-то).

$V_n(x)=\left(\frac x2\right)^n$. Такая последовательность сходится равномерно к $0$ на $[0;1]$. Произведение этих последовательностей $\frac {\left(\frac x2\right)^n}{1-x}$ тоже будет сходиться поточечно к нулю, но не равномерно, потому что каждая из функций является бесконечно большой в $1$.

Да, спасибо, я понял суть таких примеров.

mihaild в сообщении #1487626 писал(а):

В каждой точке может быть ограничен, главное чтобы общего на весь отрезок ограничения не было.

Теоретически такое вроде бы возможно, но придумать такой пример еще тяжелее (мне и предыдущий почему-то было трудно придумать). К тому же уважаемый (ая) demolishka намекнул(а)

demolishka в сообщении #1487570 писал(а):

Могут ли такие последовательности состоять из непрерывных функций?

что вроде бы последовательности должны состоять из разрывных функций...

[ewert]

artempalkin в сообщении #1487649 писал(а):

что вроде бы последовательности должны состоять из разрывных функций...

Тут дело вовсе не в разрывности, а именно в неограниченности. То, что непрерывные функции неограниченными быть не могут -- это, если угодно, уже побочный эффект.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1487649 писал(а):

Теоретически такое вроде бы возможно, но придумать такой пример еще тяжелее (мне и предыдущий почему-то было трудно придумать).

Так вы такой и придумали - $\frac{1}{1 - x}$, доопределенная каким-то числом в $1$.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1487663 писал(а):

Так вы такой и придумали - $\frac{1}{1 - x}$, доопределенная каким-то числом в $1$.

А, да?

Я подумал, вы имеете в виду последовательность ограниченных функций, сходящуюся к неограниченной... хотя тогда, конечно, равномерной сходимости быть не может.

Получается, единственная ситуация - это неограниченные функции по крайней мере в одной из последовательностей.