Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)

[scwec]

Найдите 1-параметрическое решение уравнения $z^2=x(x+1)(x+y^4)$ в рациональных числах $x,y,z$, которые все не константы.

[Andrey A]

$x_1=\dfrac{64t^3}{(t-1)(3t+1)(3t^2+1)^2},\ x_2=-\dfrac{4t}{(t-1)(3t+1)},\ y=\dfrac{4t}{(t-1)(3t+1).}$

$z_1=\frac{64t^3(t+1)(3t-1)(9t^4-12t^3+14t^2+4t+1)}{\left [ (t-1)(3t+1)(3t^2+1) \right ]^3},\ z_2=\frac{4t(3t^2+1)(3t^2-6t-1)}{\left [ (t-1)(3t+1) \right ]^3}.$

[scwec]

Интересно, что ответ получен моментально.
Приведу два решения, отличных от решений Andrey A

$x=\dfrac{16t^2}{(t^2-3)^2},y=\dfrac{3+t^2}{2t}, z=\dfrac{(t^2+9)(t^2+1)(t^4-2t^2+9)}{t(t^2-3)^3}$

$x=\dfrac{(3+t^2)^4{(t^2-3)^2}}{256t^6}, y=\dfrac{3+t^2}{2t}, z=\dfrac{(t^2-3)(t^2+9)(t^2+1)(t^4-2t^2+9)(t^2+3)^4}{4096t^9}$
Оба параметрических решения при $t=1$ и $t=3$ дают целое решение $x=4,y=2,z=\pm{20}$
Замечу, что существуют рациональные 1-параметризации с $y=\dfrac{3t+2t^2}{3+4t}$, а также с $y=\dfrac{2t^2+5t+2}{5+4t}$
Вопрос для решения: найдите эти параметризации.

[Andrey A]

Безотносительно к последнему вопросу. Само выражение $x(x+1)(x+y^4)=\square$ на вид не очень складное, а задача красивая выходит. Содержательная. Общего решения, видимо, нет (без особой уверенности в голосе), но поиск общего решения приводит к другой задаче: описать все тройки равноудаленных значений функции $F_n=\dfrac{n^2+1}{2n}$ (по аналогии с тройками равноудаленных квадратов). Если не ошибся, она тоже не имеет общего решения в полиномах.

[scwec]

Решение уравнения $z^2=x(x+1)(x+y^4)$ это вариации в окрестности известной задачи Лича, вернее, её рациональных параметрических решений.
В частности, из параметрических решений уже приведенных здесь, находятся параметрические решения биквадратного уравнения $w^2=u^4+(4y^4-2)u^2+1$
Например, оба решения Andrey A дают для этого уравнения
$u=\pm\dfrac{(t-1)(3t+1)}{3t^2+1}, w=\pm\dfrac{4t(9t^4+22t^2+1)}{(t-1)(3t+1)(3t^2+1)^2}$
Что касается общих решений в рациональных функциях, то при появлении эллиптических кривых таких решений нет.
По поводу троек равноудаленных значений функции $F_n$ - нахождение параметрических решений здесь, задача интересная и доступная.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1487722 писал(а):

... нахождение параметрических решений здесь,

Здесь как будто предполагалась сылка. Нет?

[scwec]

Andrey A в сообщении #1487724 писал(а):

Где? Здесь как будто предполагалась сылка.

Имелось в виду здесь, например, в данной теме.

[Andrey A]

А... да, интересная ))

[dmd]

(некоторые целые решения)

(16, 13, 2788)
(-289, 9, 22848)
(360, 40, 576840)
(-1521, 18, 489060)
(-1681, 13, 275520)
(2400, 24, 1387680)
(3249, 21, 1444950)
(8624, 22, 4250400)
(-9409, 31, 8995392)
(13689, 9, 1948050)
(13689, 13, 2813850)
(-28561, 3107, 275707330080)
(-37180, 55, 112239270)
(-47916, 22, 20683740)
(-48735, 15, 2118690)
(-59536, 16, 4611600)
(60236, 22, 32688612)
(-60516, 18, 12760020)
(-82369, 21, 27579552)
(142884, 18, 71135820)
(142884, 21, 82991790)
(142884, 339, 16420518450)
(-179056, 93, 1546796460)
(-201601, 57, 648715200)
(-207576, 24, 73153800)
(250000, 55, 766512500)

[scwec]

scwec в сообщении #1487722 писал(а):

В частности, из параметрических решений уже приведенных здесь, находятся параметрические решения биквадратного уравнения $w^2=u^4+(4y^4-2)u^2+1$

Пояснение.
Связь решений уравнений $z^2=x(x+1)(x+y^4)$ и $w^2=u^4+(4y^4-2)u^2+1$ осуществляется через замену переменных при неизменном $y$
$x=\dfrac{w+u^2-1}{2}, z=u(y^4+x)$ и в обратную сторону $u=\dfrac{z}{y^4+x}, w=-u^2+2x+1$.
Использование Maple в данном случае приводит к громоздким вычислениям.
И вопрос к Andrey A:
уточните, тройка равноудаленных значений $F_n$ - это значит $2(s+1/s)=k+1/k+m+1/m$? (так было мной понято)

[Andrey A]

scwec в сообщении #1487942 писал(а):

(так было мной понято)

Да, верно.

[scwec]

scwec в сообщении #1487942 писал(а):

$2(s+1/s)=k+1/k+m+1/m$

Andrey A в сообщении #1487949 писал(а):

Да, верно.

Этог уравнение приводится в точности к исходному уравнению $z^2=x(x+1)(x+y^4)\qquad(1)$
Для замен переменных используется Maple.
Общего рационального решения здесь нет, а параметрические для $s,k,m$ можно получать,
используя уже полученные решения для $(1)$.
Например, два решения, представленные мной выше, дают
$s=\dfrac{t^2+3}{2t}, k=-\dfrac{(t-3)(t+1)(t^4-9)}{8t^2(t-1)(t+3)}, m=\dfrac{(t-1)(t+3)(t^4-9)}{8t^2(t+1)(t-3)}$

$s=\dfrac{t^2+3}{2t}, k=\dfrac{8t^2(t-3)(t+1)}{(t-1)(t+3)(t^4-9)}, m=-\dfrac{8t^2(t+3)(t-1)}{(t-3)(t+1)(t^4-9)}$

Три первые строчки целых решений для $(1)$, указанных dmd
$(x=16,y=13,z=2788) \to (s=13, k=-13/36, m=117/4)$
$(x=-289,y=9,z=22848) \to (s=9, k=333/85, m=45/629)$
$(x=360,y=40,z=576840) to (s=40,k=-4/93,m=310/3)$

Остается пока без решения вопрос - найти рациональные 1-параметризации с $y=\dfrac{3t+2t^2}{3+4t}$, а также с $y=\dfrac{2t^2+5t+2}{5+4t}$.

[Shadow]

scwec в сообщении #1488053 писал(а):

Остается пока без решения вопрос - найти рациональные 1-параметризации с $y=\dfrac{3t+2t^2}{3+4t}$, а также с $y=\dfrac{2t^2+5t+2}{5+4t}$.

Ну, поскольку $x=\pm y^2$ является решением для любого $y$ и ранг кривой относительно $(x,z)$ единица, то для $y$ любого вида найдутся решения кажется.

[scwec]

Формально да. Надо было сразу в условии сказать, что это дежурно-тривиальное решение не рассматривается.
А насчет ранга 1 неверно. Указанные рациональные точки имеют конечный порядок.
К примеру, при $y=2,3,4,5,6,7,8...$ ранг кривой $(x,z)$ равен нулю.

[12d3]

scwec в сообщении #1488053 писал(а):

Остается пока без решения вопрос - найти рациональные 1-параметризации с $y=\dfrac{3t+2t^2}{3+4t}$, а также с $y=\dfrac{2t^2+5t+2}{5+4t}$.

Это вроде как одна и та же параметризация получается, потому что они обе линейной заменой приводятся к виду $y=\dfrac{t^2-9}{8t}$.
Тогда будет так:
$x_1=-\dfrac{(t+3)^2}{16t}, y=\dfrac{t^2-9}{8t}, z_1=\dfrac{(t-9)(t-1)(t+3)^2(t^2+2t+9)}{1024t^3}$

$x_2=\dfrac{(t-3)^2}{16t}, y=\dfrac{t^2-9}{8t}, z_2=\dfrac{(t+9)(t+1)(t-3)^2(t^2-2t+9)}{1024t^3}$

$x_3=-\dfrac{(t-3)^4(t+3)^2}{256t^3}, y=\dfrac{t^2-9}{8t}, z_3=\dfrac{(t-9)(t-1)(t+3)^2(t-3)^4(t^2+2t+9)}{16384t^5}$

$x_4=\dfrac{(t-3)^2(t+3)^4}{256t^3}, y=\dfrac{t^2-9}{8t}, z_4=\dfrac{(t+9)(t+1)(t-3)^2(t+3)^4(t^2-2t+9)}{16384t^5}$