2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение16.10.2020, 21:33 
Заслуженный участник


17/09/10
1977
Найдите 1-параметрическое решение уравнения $z^2=x(x+1)(x+y^4)$ в рациональных числах $x,y,z$, которые все не константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение17.10.2020, 02:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1155
Санкт-Петербург
$x_1=\dfrac{64t^3}{(t-1)(3t+1)(3t^2+1)^2},\ x_2=-\dfrac{4t}{(t-1)(3t+1)},\ y=\dfrac{4t}{(t-1)(3t+1).}$

$z_1=\frac{64t^3(t+1)(3t-1)(9t^4-12t^3+14t^2+4t+1)}{\left [ (t-1)(3t+1)(3t^2+1) \right ]^3},\ z_2=\frac{4t(3t^2+1)(3t^2-6t-1)}{\left [ (t-1)(3t+1) \right ]^3}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение17.10.2020, 12:33 
Заслуженный участник


17/09/10
1977
Интересно, что ответ получен моментально.
Приведу два решения, отличных от решений Andrey A

$x=\dfrac{16t^2}{(t^2-3)^2},y=\dfrac{3+t^2}{2t}, z=\dfrac{(t^2+9)(t^2+1)(t^4-2t^2+9)}{t(t^2-3)^3}$

$x=\dfrac{(3+t^2)^4{(t^2-3)^2}}{256t^6}, y=\dfrac{3+t^2}{2t}, z=\dfrac{(t^2-3)(t^2+9)(t^2+1)(t^4-2t^2+9)(t^2+3)^4}{4096t^9}$
Оба параметрических решения при $t=1$ и $t=3$ дают целое решение $x=4,y=2,z=\pm{20}$
Замечу, что существуют рациональные 1-параметризации с $y=\dfrac{3t+2t^2}{3+4t}$, а также с $y=\dfrac{2t^2+5t+2}{5+4t}$
Вопрос для решения: найдите эти параметризации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение18.10.2020, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1155
Санкт-Петербург
Безотносительно к последнему вопросу. Само выражение $x(x+1)(x+y^4)=\square$ на вид не очень складное, а задача красивая выходит. Содержательная. Общего решения, видимо, нет (без особой уверенности в голосе), но поиск общего решения приводит к другой задаче: описать все тройки равноудаленных значений функции $F_n=\dfrac{n^2+1}{2n}$ (по аналогии с тройками равноудаленных квадратов). Если не ошибся, она тоже не имеет общего решения в полиномах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение18.10.2020, 19:04 
Заслуженный участник


17/09/10
1977
Решение уравнения $z^2=x(x+1)(x+y^4)$ это вариации в окрестности известной задачи Лича, вернее, её рациональных параметрических решений.
В частности, из параметрических решений уже приведенных здесь, находятся параметрические решения биквадратного уравнения $w^2=u^4+(4y^4-2)u^2+1$
Например, оба решения Andrey A дают для этого уравнения
$u=\pm\dfrac{(t-1)(3t+1)}{3t^2+1}, w=\pm\dfrac{4t(9t^4+22t^2+1)}{(t-1)(3t+1)(3t^2+1)^2}$
Что касается общих решений в рациональных функциях, то при появлении эллиптических кривых таких решений нет.
По поводу троек равноудаленных значений функции $F_n$ - нахождение параметрических решений здесь, задача интересная и доступная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение18.10.2020, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1155
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1487722 писал(а):
... нахождение параметрических решений здесь,

Здесь как будто предполагалась сылка. Нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение18.10.2020, 19:27 
Заслуженный участник


17/09/10
1977
Andrey A в сообщении #1487724 писал(а):
Где? Здесь как будто предполагалась сылка.

Имелось в виду здесь, например, в данной теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение18.10.2020, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1155
Санкт-Петербург
А... да, интересная ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение18.10.2020, 19:40 


16/08/05
1095

(некоторые целые решения)

Код:
(16, 13, 2788)
(-289, 9, 22848)
(360, 40, 576840)
(-1521, 18, 489060)
(-1681, 13, 275520)
(2400, 24, 1387680)
(3249, 21, 1444950)
(8624, 22, 4250400)
(-9409, 31, 8995392)
(13689, 9, 1948050)
(13689, 13, 2813850)
(-28561, 3107, 275707330080)
(-37180, 55, 112239270)
(-47916, 22, 20683740)
(-48735, 15, 2118690)
(-59536, 16, 4611600)
(60236, 22, 32688612)
(-60516, 18, 12760020)
(-82369, 21, 27579552)
(142884, 18, 71135820)
(142884, 21, 82991790)
(142884, 339, 16420518450)
(-179056, 93, 1546796460)
(-201601, 57, 648715200)
(-207576, 24, 73153800)
(250000, 55, 766512500)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение19.10.2020, 17:28 
Заслуженный участник


17/09/10
1977
scwec в сообщении #1487722 писал(а):
В частности, из параметрических решений уже приведенных здесь, находятся параметрические решения биквадратного уравнения $w^2=u^4+(4y^4-2)u^2+1$

Пояснение.
Связь решений уравнений $z^2=x(x+1)(x+y^4)$ и $w^2=u^4+(4y^4-2)u^2+1$ осуществляется через замену переменных при неизменном $y$
$x=\dfrac{w+u^2-1}{2}, z=u(y^4+x)$ и в обратную сторону $u=\dfrac{z}{y^4+x}, w=-u^2+2x+1$.
Использование Maple в данном случае приводит к громоздким вычислениям.
И вопрос к Andrey A:
уточните, тройка равноудаленных значений $F_n$ - это значит $2(s+1/s)=k+1/k+m+1/m$? (так было мной понято)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение19.10.2020, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1155
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1487942 писал(а):
(так было мной понято)

Да, верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение20.10.2020, 12:21 
Заслуженный участник


17/09/10
1977
scwec в сообщении #1487942 писал(а):
$2(s+1/s)=k+1/k+m+1/m$

Andrey A в сообщении #1487949 писал(а):
Да, верно.

Этог уравнение приводится в точности к исходному уравнению $z^2=x(x+1)(x+y^4)\qquad(1)$
Для замен переменных используется Maple.
Общего рационального решения здесь нет, а параметрические для $s,k,m$ можно получать,
используя уже полученные решения для $(1)$.
Например, два решения, представленные мной выше, дают
$s=\dfrac{t^2+3}{2t}, k=-\dfrac{(t-3)(t+1)(t^4-9)}{8t^2(t-1)(t+3)}, m=\dfrac{(t-1)(t+3)(t^4-9)}{8t^2(t+1)(t-3)}$

$s=\dfrac{t^2+3}{2t}, k=\dfrac{8t^2(t-3)(t+1)}{(t-1)(t+3)(t^4-9)}, m=-\dfrac{8t^2(t+3)(t-1)}{(t-3)(t+1)(t^4-9)}$

Три первые строчки целых решений для $(1)$, указанных dmd
$(x=16,y=13,z=2788) \to (s=13, k=-13/36, m=117/4)$
$(x=-289,y=9,z=22848) \to (s=9, k=333/85, m=45/629)$
$(x=360,y=40,z=576840) to (s=40,k=-4/93,m=310/3)$

Остается пока без решения вопрос - найти рациональные 1-параметризации с $y=\dfrac{3t+2t^2}{3+4t}$, а также с $y=\dfrac{2t^2+5t+2}{5+4t}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение20.10.2020, 13:28 


26/08/11
1914
scwec в сообщении #1488053 писал(а):
Остается пока без решения вопрос - найти рациональные 1-параметризации с $y=\dfrac{3t+2t^2}{3+4t}$, а также с $y=\dfrac{2t^2+5t+2}{5+4t}$.
Ну, поскольку $x=\pm y^2$ является решением для любого $y$ и ранг кривой относительно $(x,z)$ единица, то для $y$ любого вида найдутся решения кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение20.10.2020, 15:16 
Заслуженный участник


17/09/10
1977
Формально да. Надо было сразу в условии сказать, что это дежурно-тривиальное решение не рассматривается.
А насчет ранга 1 неверно. Указанные рациональные точки имеют конечный порядок.
К примеру, при $y=2,3,4,5,6,7,8...$ ранг кривой $(x,z)$ равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)
Сообщение20.10.2020, 16:46 
Заслуженный участник


04/03/09
885
scwec в сообщении #1488053 писал(а):
Остается пока без решения вопрос - найти рациональные 1-параметризации с $y=\dfrac{3t+2t^2}{3+4t}$, а также с $y=\dfrac{2t^2+5t+2}{5+4t}$.

Это вроде как одна и та же параметризация получается, потому что они обе линейной заменой приводятся к виду $y=\dfrac{t^2-9}{8t}$.
Тогда будет так:
$x_1=-\dfrac{(t+3)^2}{16t}, y=\dfrac{t^2-9}{8t}, z_1=\dfrac{(t-9)(t-1)(t+3)^2(t^2+2t+9)}{1024t^3}$

$x_2=\dfrac{(t-3)^2}{16t}, y=\dfrac{t^2-9}{8t}, z_2=\dfrac{(t+9)(t+1)(t-3)^2(t^2-2t+9)}{1024t^3}$

$x_3=-\dfrac{(t-3)^4(t+3)^2}{256t^3}, y=\dfrac{t^2-9}{8t}, z_3=\dfrac{(t-9)(t-1)(t+3)^2(t-3)^4(t^2+2t+9)}{16384t^5}$

$x_4=\dfrac{(t-3)^2(t+3)^4}{256t^3}, y=\dfrac{t^2-9}{8t}, z_4=\dfrac{(t+9)(t+1)(t-3)^2(t+3)^4(t^2-2t+9)}{16384t^5}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group