Уравнение z^2=x(x+1)(x+y^4)

[scwec]

12d3 да, всё нормально. Первая строчка сразу же удачна в смысле
$m=\frac{t^2-9}{t^2-2t+9},k=\frac{(t-3)(t^2-2t+9)}{4t(t+3)},s=\frac{t^2-9}{8t}$ все положительны при $t>3$ (остальные строчки, возможно, не хуже, не проверял).
Таким образом имеем параметризацию семейства трех рациональных прямоугольных треугольников с общим катетом и удвоенной длиной гипотенузы одного из них равной сумме длин гипотенуз остальных двух. Возможны и другие трактовки.

[dmd]

(Ещё про целые решения)

Уравнение можно переписать в пифагоровой форме так

$(x^2 + y^4 + x y^4)^2 + (2 z)^2 = (2 x + x^2 + y^4 + x y^4)^2$

или так

$(2 x^3 + x^2 (1 + y^4) - z^2)^2 + (2 x^2 y^2)^2 = (x^2 (1 + y^4) - z^2)^2$

и тогда через параметризацию пифагоровых троек некоторые целые точки становятся алгоритмически чуть ближе.
Например нашлись ещё такие целые решения (y,x,z):

(15, 1305375, 1520076000)
(40, 1062760, 2022810440)
(40, 3844000, 9727676000)
(55, 3520495, 12531737680)
(60, 1825200, 7018174800)
(93, 15936759, 151811299080)
(319, 75585279231, 22158296168752128)
(436, 9137724624, 1944301113358800)
(462, 36590400, 7813137134880)
(462, 1075976244, 232356857943420)
(665, 188210960, 83271633667740)
(825, 228735375, 155721445374000)