Стержень в пустом сосуде

[profilescit]

В сосуде c плоским дном и плоскими стенками помещается прямой, однородный и тонкий стержень $AB$ длины $l$, так что он опирается своим концом $A$ на дно сосуда и в точке $O$ на край стенки сосуда высоты $h$ так, что при равновесии $OA = n l$.
При нагреве дна сосуда стержень начинает плавиться только от конца $A$ таким образом что длина стержня уменьшается с постоянной скоростью $v$. Таким образом, в точке $A$ сила трения пренебрежительно мала, а в точке $O$ коэффициент трения в два раза больше минимального коэффициента трения для которого стержень был бы в равновесии до начали плавления.

a. Установить, в начале стержень имеет вращательное, поступательное или сложное движение? Какой период времени это движение длится?
b. Какому условию должно соответствовать $n$ чтобы стержень не провалился вне сосуда для периода времени найденного в пункте a
c. При условии пункта b, какое движение будет иметь стержень после периода времени найденного в пункте a и какую длину будет иметь стержень в момент времени начала его падения в сосуд?

Нашел минимальный коэффициент трения, $\mu_{min} = \tg{\alpha} $ где $\alpha$ - угол стержня с дном сосуда.
Тогда, при условии что коэффициент трения в точке $O$ становиться в два раза больше изначального, стержень будет вращаться вокруг точки $О$ так что только его длина $OA$ будет уменьшаться пока угол с горизонтом не станет
$tg{\beta} = 2 \tg{\alpha}$
Правильны ли мои расчеты до этого момента?

[EUgeneUS]

Картинка нужна.

[profilescit]

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1487081 писал(а):

в точке $O$ коэффициент трения в два раза больше минимального коэффициента трения для которого стержень был бы в равновесии до начали плавления.

Вообще-то, в состоянии равновесия коэффициент трения в точке $O$ может быть равен нулю.
Нужно ли считать, что коэффициент трения в точке $O$ равен коэффициенту трения в точке $A$ до начала плавления?

[profilescit]

EUgeneUS в сообщении #1487217 писал(а):

Вообще-то, в состоянии равновесия коэффициент трения в точке $O$ может быть равен нулю.
Нужно ли считать, что коэффициент трения в точке $O$ равен коэффициенту трения в точке $A$ до начала плавления?

Думаю, как раз таки нельзя. Перед самым началом плавления в точке $A$ трение отсутствовало, иначе оно бы скачкообразно исчезло бы в момент начала плавления.
Да и сама подсказка в конце книги подтверждает что минимальный коэффициент трения равен $\tg{\alpha}$

[sergey zhukov]

Пока все правильно.

Чувствуется, что задача возникла из реальной ситуации, когда что-то плавили в кастрюле и оно не влезало туда целиком. Вероятно, у них как раз произошло то, что упоминается во втором пункте. Хотя в идеальной задаче стержень не вывалится из кастроюли, в реальной, вероятно, может.

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1487222 писал(а):

Перед самым началом плавления в точке $A$ трение отсутствовало, иначе оно бы скачкообразно исчезло бы в момент начала плавления.

Я так и понял условие.
До начала плавления в точке $A$ трение есть, началось плавление - скачкообразно упало до нуля.

-- 15.10.2020, 12:36 --

sergey zhukov в сообщении #1487224 писал(а):

Хотя в идеальной задаче стержень не вывалится из кастроюли,

Чей-та? От длины $OB$ и высоты стенки зависит.

[profilescit]

EUgeneUS в сообщении #1487244 писал(а):

Чей-та? От длины $OB$ и высоты стенки зависит.

Ну тут уже условие второго пункта вступают в силу

[EUgeneUS]

Я не очень понимаю, что там происходит с коэффициентами трения. Подозреваю, что для решения, по которому пошли Вы, условие задачи надо трактовать каким-то особым образом.
Можете указать ссылку на источник задачи?

[profilescit]

EUgeneUS, Mihail Sandu - Probleme de fizica
Румынский сборник, компиляция задач 80-90 годов для отбора сборной Румынии на IPhO.
К сожалению, в интернете книги нет. У меня печатная версия на румынском.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Нет, стержень не вывалиться. Дойдет до момента равновесия и перестанет плавиться, т.к. перестанет опираться на дно и "плавиться с постоянной скоростью". Достижение этого момента, конечно, и можно принять за событие "стержень вывалился из кастрюли".
Насчет трения тут ничего непонятного, по моему, нет. Условия надо понимать самым прямым образом, ни к каким неопределенностям это не приводит.

[stalvoron]

Задача интересная, но исходные условия определены, по моему, не однозначно ( может издержки перевода и изложения, может я не осилил).

profilescit в сообщении #1487081 писал(а):

В сосуде c плоским дном и плоскими стенками помещается прямой, однородный и тонкий стержень $AB$ длины $l$, так что он опирается своим концом $A$ на дно сосуда и в точке $O$ на край стенки сосуда высоты $h$ так, что при равновесии $OA = n l$.

Не понятно, зачем упоминается равновесие? И что такое равновесие в данном случае? Что с чем уравновешивается и относительно чего? Из картинки вроде бы следует не равновесие (по крайней мере для стержня, как для одноопорной балки), а состояние покоя, обеспечиваемое, судя по всему трением в точке $O$ и точке $A$ (причём, я полагаю, что , т.к. материалы сосуда и стержня однородны, то и коэффициенты трения в точках опор одинаковы). Как я понимаю, при начале плавления происходит следующее:
Уменьшается плечо $OA$ . При этом балка будет поворачиваться вокруг точки $O$ по часовой стрелке за счёт разницы длин плеч. При этом возможно: a.За счёт увеличения угла $\alpha$ начнётся "проскальзование" стержня относительно точки $O$ вниз ( т.е. начнётся ещё и поступательное движение , стержень начнёт сползать в сосуд и доплавится до конца;
b. Или. В какой то момент уравновесятся плечи балки $BO$ и $OA$ и балка (только тогда )уравновесится относительно точки $O$ и перестанет плавится). Но! Это возможно при определённом изначальном соотношении длины стержня и высоты сосуда. А это не оговаривалось изначально. Т.е. для меня нет однозначности. Либо я чего то недопонял. Если не в тягость,тем кто разобрался , подскажите пожалуйста.

[Emergency]

EUgeneUS в сообщении #1487244 писал(а):

До начала плавления в точке $A$ трение есть

Но оно не уточнено. Тогда равновесие (отсутствие скольжения точки $A$) определено только трением в точке $O$.

[sergey zhukov]

stalvoron
Тут изначально вся геометрия дана. И длина стержня, и отношение $OA$ к $OB$ и высота стенки. Условия нужно понимать так: стержень кладут в уже раскаленную кастрюлю, так что в точке $A$ изначально никакого трения нет.

Да, стержень может уравновеситься где-то в промежуточном состоянии, а может дойти до момента, когда перестанет просто крутиться относительно $O$, но начнет сползать вниз. Что произойдет - соотношения $l, n$ и $h$ зависит. Вот и нужно найти (во втором пукте задачи), при каком соотношении этих параметров стержень уравновесится, не дойдя до момента сползания.

[stalvoron]

sergey zhukov , доброго дня.

sergey zhukov в сообщении #1487621 писал(а):

stalvoron
Тут изначально вся геометрия дана. И длина стержня, и отношение $OA$ к $OB$ и высота стенки. Условия нужно понимать так: стержень кладут в уже раскаленную кастрюлю, так что в точке $A$ изначально никакого трения нет.

Судя по начальному посту не совсем так. В начале поместили стержень, а потом начали нагревать, иначе стержень не возможно было бы установить неподвижно в какой то начальный момент. При этом трение в точках касания должно было быть одинаковым . Материалы ведь одинаковые. И , да! Геометрия то указана, но мне кажется, что первым пунктом , сначала, надо как раз определить соотношение плеч, что бы определится с характером движения. Вероятно $OA= \frac h {\sin\alpha} $ . И-и, что? Если при определённом угле $\alpha$ , плечо $OA=2 BO$ - это будет одна ситуация при которой стержень будет вращаться и сползать из-за ощутимой разницы плеч и увеличения угла, сверх изначального минимального угла трения. Но может же быть изначально такой угол трения при котором длина плеч будет практически одинаковой и при начале плавления плечи уравновесятся , произойдёт поворот стержня против часовой стрелки и скорее всего по инерции стержень вывалится. Это зависит от коэффициента трения конкретных материалов. Всё таки мне кажется, что задача недоопределена или рассчитана на восприятие по рисунку. Кстати в первом пункте спрашивается время движения. А время можно определить только после ответа на второй пункт.