2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Много точных квадратов
Сообщение11.10.2020, 20:25 
Заслуженный участник


20/12/10
7976
Найдите а) хотя бы два, б) все значения целочисленного параметра $H$ в промежутке $[1,10^6]$, для каждого из которых существует более двух десятков целых значений $y$, для которых число $y^4+2Hy$ является точным квадратом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение11.10.2020, 22:06 


16/08/05
1113
$y^4+2Hy=z^2\implies (y^3 + H)^2 - (yz)^2 = H^2$

а)
Код:
H = 295680; #T = 20
[[-385, 147455], [-160, 23680], [-140, 17360], [-110, 9020], [-108, 8496], [-88, 2816], [-84, 336], [1, 769], [6, 1884], [8, 2176], [14, 2884], [28, 4144], [40, 5120], [44, 5456], [60, 6960], [96, 11904], [132, 19536], [154, 25564], [297, 89199], [384, 148224]]

H = 997920; #T = 20
[[-448, 198464], [-240, 53280], [-210, 39060], [-165, 20295], [-162, 19116], [-132, 6336], [-126, 756], [9, 4239], [12, 4896], [21, 6489], [22, 6644], [42, 9324], [60, 11520], [66, 12276], [90, 15660], [140, 25760], [144, 26784], [198, 43956], [231, 57519], [576, 333504]]

б)
таких нет

(gp-код)

Код:
nno()=
{
for(H=1, 10^6,
  T= thue('x^2-1, H^2);
  T= select(S -> S[1]-H!=0 & ispower(S[1]-H,3), T);
  T= apply(S -> [sign(S[1]-H)*floor(abs(S[1]-H)^(1/3)), S[2]], T);
  T= apply(S -> [S[1], S[2]/S[1]], T);
  T= select(S -> S[2]>0, T);
  T= select(S -> #T>19, T);
  if(#T,
   print("\nH = "H"; #T = "#T"\n"T);
   write("nno.txt","\nH = "H"; #T = "#T"\n"T)
  )
)
};

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение11.10.2020, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1244
Санкт-Петербург
Например так:
$y=p-q$
$H=2pq(p-q).$ Таких отображений много найдется до миллиона. Для $H=480$ к примеру $(p,q)=(10,4),(10,6),(12,2),(12,10),(16,1),(16,15).$

Upd 13.10.2020
В силу симметрии годятся также $y_2=q, y_3=-p$ (предполагается $p>q>0$). Если домножить $p,q$ на некоторый коэффициент $k$, то для $H'=Hk^3$ подходят пропорциональные $y'_1=k(p-q),y'_2=kq,y'_3=-kp,$ но могут добавиться и другие решения. Для $H=60=2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (5-3)=2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot (6-5),$ к примеру, годятся $6$ вариантов $y:\ 2,3,-5,1,5,-6.$ Домножая на $k=2,$ получаем еще тройку $1,30,-31$ для $H=480.$ Домножая на $k=3,$ — еще тройку $1,80,-81.$
Для $H=12960$ имеем уже $12$ вариантов $y: 1,3,6,12,18,30,45,80,-30,-36,-48,-81.$ Где гарантия, что такой процесс конечен? $k=28$ и $k=11$ последовательно добавляют еще две тройки, хотя это уже за пределами $H \sim 10^6.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение12.10.2020, 02:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1244
Санкт-Петербург
$3$ х-параметрическое $y=(p-q)r$, $H=2pq(p-q)r^3$ можно поставить в зависимость от уравнения в рациональных числах $\dfrac{X^2-1}{Y^2-1}=Z^3$ (об этом молчу). Если верно последнее, то из несократимых дробей $\dfrac{p_1}{q_1}=\dfrac{X+1}{2},\dfrac{p_2}{q_2}=\dfrac{Y+1}{2},\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{q_2}{q_1Z}$ получаем $H$ и нужную пару $y$.

Примеры:

$X=8/1,Y=25/7,Z=7/4;p_1=9,q_1=2,$ $p_2=16,q_2=7,r_1=2,r_2=1;H=2016,y_1=14,y_2=9.$

$X=949/5,Y=3107/20,Z=8/7;p_1=477,q_1=5,$ $p_2=3127,q_2=40,r_1=7,r_2=1;H=772243920
,y_1=3304,y_2=3087.$

Изменено 13.10.2020

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение12.10.2020, 14:15 
Заслуженный участник


20/12/10
7976
dmd
Это очень удачно получилось, что уравнение оказалось возможным переписать в виде $(y^3+H)^2-(yz)^2=H^2$, после чего дальше можно раскручивать по-разному (например, левую часть можно факторизовать или, наконец, вспомнить про пифагоровы тройки). Вы можете пояснить, как именно возникает здесь уравнение Туэ (например, явно выписать это уравнение Туэ)? Что-то я это плохо представляю.

Я, конечно, ничего подобного не имел в виду, в моем решении используется совершенно элементарный и другой алгоритм. Верно ли, что для схожего уравнения $y^4+2Hy+1=z^2$ подобный трюк (сведение к уравнению Туэ) невозможен?

Да, ответы к а) и б) верные (иными словами, существуют ровно два искомых значения $H$ --- те, которые Вы указали). Но обоснование корректности ответа в б) через уравнения Туэ --- это слишком дорогое удовольствие (в том плане, что надо еще понять, насколько корректно реализовано решение таких уравнений в pari/gp).

Upd. Вопрос с уравнением Туэ снят (оно здесь простейшее: разность квадратов равна константе). Таким образом, с корректностью все в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение12.10.2020, 15:52 


16/08/05
1113
Это просто в pari/gp так придумано, что разность квадратов и уравнение $x^2+dy^2=c,d>0,c>0$ можно решать функцией thue, хотя они конечно же не чистокровные Туэ, которые формально с 3-й степени начинаются.


nnosipov в сообщении #1486819 писал(а):
Верно ли, что для схожего уравнения $y^4+2Hy+1=z^2$ подобный трюк (сведение к уравнению Туэ) невозможен?

Для меня пока не факт, сам постоянно в поиске вариантов сведения эллиптических/гиперэллиптических уравнений к конечному набору Пелля/Туэ. Такое уравнение логичнее решать функцией IntegralQuarticPoints из Магмы. Только наверняка на некоторых наборах коэффициентов Магма будет безнадёжно зависать, что означает что потенциальные решения могут быть огромны и Магма до них не может за разумное время добраться.
Также его можно свести к "два квадрата минус квадрат"
$(2 y^2 - 1)^2 + (2 (y + H))^2 - (2 z)^2 = 4 H^2 - 3$
или к "двум разностям квадратов"
$-(2 y^2 - 1)^2 - (2 (y + H))^2 + (2 z)^2 + (2 H)^2 = 3$
и пытаться их раскрутить через частные варианты параметризации (типа этих: 1,2).

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение12.10.2020, 17:30 


30/09/20
42
dmd, сколько примерно времени занимает выполнение вашего кода? Я запустил nno(), процессор уже восьмую минуту гудит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение12.10.2020, 17:58 


16/08/05
1113
Verkhovtsev
Примерно пол-часа заняло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение12.10.2020, 18:02 
Заслуженный участник


20/12/10
7976
dmd
А процессор? У меня i7 работал по моему алгоритму минут 70.

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение12.10.2020, 18:23 


16/08/05
1113
nnosipov
i5-6400

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение12.10.2020, 18:39 
Заслуженный участник


20/12/10
7976
Хорошо, давайте теперь займемся выражением $y^4+2Hy+1$. Будем искать такие $H \in [1,10^6]$, для которых уравнение $y^4+2Hy+1=z^2$ имеет максимальное число решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение13.10.2020, 06:26 
Заслуженный участник


20/12/10
7976
dmd в сообщении #1486829 писал(а):
Такое уравнение логичнее решать функцией IntegralQuarticPoints
из Магмы. Только наверняка на некоторых наборах коэффициентов Магма будет безнадёжно зависать, что означает что потенциальные решения могут быть огромны и Магма до них не может за разумное время добраться.
Вот это было бы любопытно проверить. Оценить возможные решения в данном случае нетрудно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение13.10.2020, 07:11 


16/08/05
1113
Увы, Магма вне игры. Зависла уже на H=13.

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение13.10.2020, 07:55 
Заслуженный участник


20/12/10
7976
dmd
Большое спасибо (уже не в первый раз выручаете меня в подобных делах). Вчера запустил на своем новеньком ноутбуке: все те же 72 минуты (Maple, i7-9750H). Максимальное число решений: 10 (достигается при 2 значениях $H$). Здесь ожидаемо число решений не слишком велико.

Алгоритм абсолютно элементарный, для школьников. Подобные штуки мы на самом деле уже обсуждали. Но, как это обычно бывает, не исключен и какой-нибудь "левый" способ (как в начальном варианте задачи, где такой способ не только оказался эффективнее, но и заодно прояснил, почему возможно довольно большое число решений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Много точных квадратов
Сообщение14.10.2020, 16:11 


16/08/05
1113
Ничего интересного не придумалось, просто перебором прошел.

Код:
H = 53684; #T = 10
[[-53684, 2881971855], [-84, 6385], [0, 1], [8, 929], [10, 1041], [20, 1519], [64, 4863], [66, 5105], [416, 173185], [53684, 2881971857]]

H = 95281; #T = 10
[[-95281, 9078468960], [-1148, 1317821], [-80, 5071], [0, 1], [7, 1156], [40, 3191], [60, 4939], [76, 6917], [657, 431794], [95281, 9078468962]]

nnosipov
И Вам спасибо за красивые задачи!
Выходит что $|y|$ не может быть больше $H$, но почему? И, пожалуйста, потом расскажите Ваш алгоритм (интересно пересмотреть, что же я не увидел или забыл). Количество решений ограничено, ну не может не быть, чтоб такое уравнение не сводилось к настоящему Туэ или к разности квадратов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: maxal, Toucan, PAV, Karan, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group