Доказать непрерывность min() и max()

[VoprosT]

Есть непрерывная на отрезке $[a,b]$ функция $f(x)$. Требуется показать, что $m(x) = \min\limits_{a \leqslant t \leqslant x}f(t)$ и $M(x) = \max\limits_{a \leqslant t \leqslant x}f(t)$ также непрерывны на $[a,b]$. В общем я решил действовать в лоб и смотреть на определение. Попытался показать, что $m(U(a)) \subset f(U(a)) \subset V(f(a))$. Подумал, что быть может $m(A) \subset f(A)$, но это верно, когда рассматриваю весь отрезок, а когда окрестность точки из этого отрезка - нет. В какую сторону лучше направить мысль?

[Dan B-Yallay]

VoprosT в сообщении #1486485 писал(а):

В какую сторону лучше направить мысль?

От обратного пробовали?
Предположим, что $m(x)$ - разрывная функция и $x_0$ - одна из точек разрыва. Тогда... ?

[Null]

Это можно сделать в лоб по определению непрерывной функции.

[ewert]

VoprosT в сообщении #1486485 писал(а):

Попытался показать, что $m(U(a)) \subset f(U(a)) \subset V(f(a))$.

Поскольку речь всего лишь об отрезке -- всяческие $U,V$ неуместны. А вот что сильно облегчает жизнь: функции-то монотонны...

[VoprosT]

Решил делать в лоб, потому что от противного как-то неестественно. Монотонность не понял, где применить. Попытался использовать тот факт, что $f(x)$ так же будет равномерно непрерывной на отрезке, но тоже безуспешно. Хочется оценить разность $\left\lvert m(x) - m(x_0)\right\rvert$ сверху разностью $\left\lvert f(x) - f(x_0) \right\rvert$, но не выходит.

Пока писал сообщение, придумал что-то такое(но это не строгое док-во, а просто размахивание руками):
Вот определение непрерывности $f(x)$ на отрезке $[a,b]$:
$\forall x_0 \in [a,b] \; \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta >0 \colon \left\lvert x - x_0 \right\rvert < \delta \Rightarrow \left\lvert f(x) - f(x_0) \right\rvert < \varepsilon $

Посмотрим на значения $m(x)$ и $f(x)$ в $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. Поскольку $f(x)$ отличается от $f(x_0)$ в этом интервале меньше, чем на \varepsilon$, то и значения $m(x)$ отличаются от $m(x_0)$ меньше, чем на $\varepsilon$. Правильно думаю?

[novichok2018]

мин и макс можно выразить через модули и сложение. Если для тех есть непрерывность - то вывести отсюда, например.

[ewert]

novichok2018 в сообщении #1486744 писал(а):

мин и макс можно выразить через модули и сложение.

Боюсь, что это как минимум не так просто. Сравниваются значения не с нулём, а друг с другом.

VoprosT в сообщении #1486715 писал(а):

Монотонность не понял, где применить.

Ну как. У монотонных функций разрывы ведь бывают только первого рода. И вот тот же минимум: меняется, меняется себе потихоньку... И вдруг в какой-то точке -- скачком! Как-то стрёмно...

[Padawan]

VoprosT в сообщении #1486715 писал(а):

Посмотрим на значения $m(x)$ и $f(x)$ в $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. Поскольку $f(x)$ отличается от $f(x_0)$ в этом интервале меньше, чем на \varepsilon$, то и значения $m(x)$ отличаются от $m(x_0)$ меньше, чем на $\varepsilon$. Правильно думаю?

Правильно. $m(x)=\min(m(x_0),\min\limits_{t\in[x_0,x]}f(t)})$.

[Dan B-Yallay]

VoprosT в сообщении #1486715 писал(а):

Решил делать в лоб, потому что от противного как-то неестественно.

Дело хозяйское. Ho идея была в том, чтобы использовать факт:

ewert в сообщении #1486785 писал(а):

У монотонных функций разрывы ведь бывают только первого рода. И вот тот же минимум: меняется, меняется себе потихоньку... И вдруг в какой-то точке -- скачком! Как-то стрёмно...

Если всё же хотите в лоб, то рассмотрите произвольную точку $x_0 \in [a,b].$ В ней соблюдается $m(x_0) \leqslant f(x_0)$ по определению $m(x)$.
Разберем случай, когда $m(x_0) < f(x_0)$. Выясните, почему $m(x)$ непрерывна в этом случае в точке $x_0$.
Затем рассмотрите, когда $m(x_0) = f(x_0)$.