2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численное решение транспортного уравнения
Сообщение10.10.2020, 20:26 


31/05/11
127
Доброго времени суток!

Возник следующий вопрос о методе Галеркина:

Допусим у нас есть уравнение типа:
$\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} + \frac{\partial u(x, t)}{\partial x} = 0$
Заданное на $(x, t) \in [0, H] \times [0, T]$ со следующими условиями: решение периодично по времени, те $u(x, 0) = u(x, T)$ и есть закон сохранения массы, те $\int_0^H u(x, t) dx = C$ для любого $t$. При решении методом Галеркина выбирается базис Фурье для времени и полиномы Лежандра для пространства. Для записи обобщенной формы уравнения при проектировании на базисные функции, как учесть постоянность массы? Ведь это нигде не возникает при интегрировании по частям.

Заранее благодарен за любую помощь чтобы разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение транспортного уравнения
Сообщение10.10.2020, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
mak1610 в сообщении #1486606 писал(а):
$\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} + \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = 0$
Именно так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение транспортного уравнения
Сообщение10.10.2020, 20:32 


31/05/11
127
svv в сообщении #1486607 писал(а):
mak1610 в сообщении #1486606 писал(а):
$\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} + \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = 0$
Именно так?

Да, опечатка. Поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение транспортного уравнения
Сообщение10.10.2020, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12989
Цитата:
транспортного уравнения
Извините, такого уравнения нет. Есть транспортная задача и уравнение переноса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение транспортного уравнения
Сообщение10.10.2020, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Если я правильно догадываюсь, Вы ищете $u(x,t)$ в виде $\sum\limits_{n,m}c_{nm}\;P_n(f(x))\;T_m(t)$, где линейная функция $f$ отображает $[0,H]$ на $[-1,+1]$.

Подставьте это в $\int\limits_0^H u(x, t)\;dx$. Что получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение транспортного уравнения
Сообщение10.10.2020, 22:24 


31/05/11
127
svv в сообщении #1486620 писал(а):
Если я правильно догадываюсь, Вы ищете $u(x,t)$ в виде $\sum\limits_{n,m}c_{nm}\;P_n(f(x))\;T_m(t)$, где линейная функция $f$ отображает $[0,H]$ на $[-1,+1]$.

Подставьте это в $\int\limits_0^H u(x, t)\;dx$. Что получится?


Тогда получится что $\sum_{n} c_{n0} A_n = 1$. Это еще одно уравнение в систему? Просто у меня получается система из $n$ уравнений с $n$ неизвестными когда я рассматриваю проекцию на базисные функции. Но тут еще одно уравнение, получается неквадратная система. Или я что-то упустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение транспортного уравнения
Сообщение10.10.2020, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Все слагаемые с $n\neq 0$ не дают вклада в интеграл, так как соответствующие $P_n$ ортогональны $P_0\equiv 1$. Остальное легко интегрируется по $x$. Остаётся лишь суммирование по $m$:
$H \sum\limits_m c_{0m} T_m(t) = C$
Какой вывод можно сделать из этого уравнения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group