Численное решение транспортного уравнения

[mak1610]

Доброго времени суток!

Возник следующий вопрос о методе Галеркина:

Допусим у нас есть уравнение типа:
$\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} + \frac{\partial u(x, t)}{\partial x} = 0$
Заданное на $(x, t) \in [0, H] \times [0, T]$ со следующими условиями: решение периодично по времени, те $u(x, 0) = u(x, T)$ и есть закон сохранения массы, те $\int_0^H u(x, t) dx = C$ для любого $t$. При решении методом Галеркина выбирается базис Фурье для времени и полиномы Лежандра для пространства. Для записи обобщенной формы уравнения при проектировании на базисные функции, как учесть постоянность массы? Ведь это нигде не возникает при интегрировании по частям.

Заранее благодарен за любую помощь чтобы разобраться.

[svv]

mak1610 в сообщении #1486606 писал(а):

$\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} + \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = 0$

Именно так?

[mak1610]

svv в сообщении #1486607 писал(а):

mak1610 в сообщении #1486606 писал(а):

$\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} + \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = 0$

Именно так?

Да, опечатка. Поправил.

[Утундрий]

Цитата:

транспортного уравнения

Извините, такого уравнения нет. Есть транспортная задача и уравнение переноса.

[svv]

Если я правильно догадываюсь, Вы ищете $u(x,t)$ в виде $\sum\limits_{n,m}c_{nm}\;P_n(f(x))\;T_m(t)$, где линейная функция $f$ отображает $[0,H]$ на $[-1,+1]$.

Подставьте это в $\int\limits_0^H u(x, t)\;dx$. Что получится?

[mak1610]

svv в сообщении #1486620 писал(а):

Если я правильно догадываюсь, Вы ищете $u(x,t)$ в виде $\sum\limits_{n,m}c_{nm}\;P_n(f(x))\;T_m(t)$, где линейная функция $f$ отображает $[0,H]$ на $[-1,+1]$.

Подставьте это в $\int\limits_0^H u(x, t)\;dx$. Что получится?

Тогда получится что $\sum_{n} c_{n0} A_n = 1$. Это еще одно уравнение в систему? Просто у меня получается система из $n$ уравнений с $n$ неизвестными когда я рассматриваю проекцию на базисные функции. Но тут еще одно уравнение, получается неквадратная система. Или я что-то упустил?

[svv]

Все слагаемые с $n\neq 0$ не дают вклада в интеграл, так как соответствующие $P_n$ ортогональны $P_0\equiv 1$. Остальное легко интегрируется по $x$. Остаётся лишь суммирование по $m$:
$H \sum\limits_m c_{0m} T_m(t) = C$
Какой вывод можно сделать из этого уравнения?