2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Propozal ex YUG for IMO 1975
Сообщение09.10.2020, 14:21 


01/08/19
95
Solve in integer the equation
$$x^3+a \cdot y^3+a^2 \cdot z^3=3 \cdot axyz,$$where is $a \in \mathbb{Z}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Propozal ex YUG for IMO 1975
Сообщение09.10.2020, 14:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Hint: the polynomial $x^3+ay^3+a^2z^3-3axyz$ can be factored over $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{a})$.

The more interesting problem is the following:

Let $a \in \mathbb{Z}$ be an integer such that $\sqrt[3]{a}$ is irrational. Solve the equation $x^3+ay^3+a^2z^3-3axyz=1$ in integers $x$, $y$, $z$. (You can give an algorithm for enumerating all the solutions.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Propozal ex YUG for IMO 1975
Сообщение09.10.2020, 14:50 


05/09/16
11469
rsoldo в сообщении #1486422 писал(а):
Solve in integer the equation
$$x^3+a \cdot y^3+a^2 \cdot z^3=3 \cdot axyz,$$where is $a \in \mathbb{Z}$.

$z=t;y=kt;x=k^2t;a=k^3$ where $k,t \in \mathbb{Z}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Propozal ex YUG for IMO 1975
Сообщение09.10.2020, 14:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
wrest
$a$ is not an unknown. This is a parameter. You must resolve the equation in $x$, $y$, $z$ for any given value of $a$.

-- Пт окт 09, 2020 18:56:17 --

rsoldo в сообщении #1486422 писал(а):
Solve in integer
This must be changed to: Solve in integers $x$, $y$, $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Propozal ex YUG for IMO 1975
Сообщение09.10.2020, 15:37 


05/09/16
11469
nnosipov в сообщении #1486428 писал(а):
You must resolve the equation in $x$, $y$, $z$ for any given value of $a$.

Не похоже, чтобы для $a \ne t^3, a,t \in \mathbb{Z}$ были какие-то целые решения кроме $x,y,z=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Propozal ex YUG for IMO 1975
Сообщение09.10.2020, 16:06 


26/08/11
2057
wrest в сообщении #1486439 писал(а):
Не похоже, чтобы для $a \ne t^3, a,t \in \mathbb{Z}$ были какие-то целые решения кроме $x,y,z=0$
Да, неплохо бы доказать. Для положительных $a,x,y,z$ решение следует немедленно из AM-GM откуда и a должно быть кубом. Но задача все таки в целых.
wrest в сообщении #1486425 писал(а):
$z=t;y=kt;x=k^2t;a=k^3$ where $k,t \in \mathbb{Z}$
И еще $\forall y,z \in \mathbb{Z},\; x=-ky-k^2z$

Думаю, можно доказать что a - куб. Что $3\mid v_p(a)$ для любого простого делителия $a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Propozal ex YUG for IMO 1975
Сообщение09.10.2020, 16:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
wrest в сообщении #1486439 писал(а):
Не похоже, чтобы для $a \ne t^3, a,t \in \mathbb{Z}$ были какие-то целые решения кроме $x,y,z=0$
You are right. If $a$ is not a perfect cube, the equation has only trivial solution $x=y=z=0$. Can you prove it? (It seems that is not so dificult, see my hint above.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Propozal ex YUG for IMO 1975
Сообщение29.06.2022, 08:42 


01/08/19
95
My way:
This equation is equivalent to:
$$
x^3+(\sqrt[3]{a}y)^3+(\sqrt[3]{a^2}z)^3-3x\cdot(\sqrt[3]{a}y)\cdot(\sqrt[3]{a^2}z)=0,
$$
Now we can use $A^3+B^3+C^3-3ABC=\frac{1}{2}\cdot (A+B+B)\cdot [(A-B)^2+(A-C)^2+(B-C)^2]$, we have two equations:
$$
x+\sqrt[3]{a}y+\sqrt[3]{a^2}z=0~\text{or}~x=\sqrt[3]{a}y=\sqrt[3]{a^2}z
$$
which have yet to be resolved.

 Профиль  
                  
 
 Re: Propozal ex YUG for IMO 1975
Сообщение08.03.2023, 10:16 


01/08/19
95
My solution:
$$x^3+a \cdot y^3+a^2 \cdot z^3=3 \cdot axyz$$$$x^3+(\sqrt[3]{a}y)^3+(\sqrt[3]{a^2}z)^3-3x\cdot(\sqrt[3]{a}y)\cdot(\sqrt[3]{a^2}z)=0$$$$(x+\sqrt[3]{a}y+\sqrt[3]{a^2}z)\cdot \left[(x-\sqrt[3]{a}y)^2+(x-\sqrt[3]{a^2}z)^2+(\sqrt[3]{a}y-\sqrt[3]{a^2}z)^2\right]=0$$If $a=0$ we have $x=0$ and we have solutions $\boxed{\{(0,y_0,z_0):y_0,z_0\in\mathbb{Z}\}} $
If $a\ne 0$ we have:
1.case:
$x+\sqrt[3]{a}y+\sqrt[3]{a^2}z=0$ and $a=k^3$ we can see that $(2tk^2,-tk,-t)$ are solutions.
So, $\boxed{\{(2t\cdot \sqrt[3]{a^2},-t\cdot \sqrt[3]{a},-t):t\in \mathbb{Z}\}}$
2.case:
$x+\sqrt[3]{a}y+\sqrt[3]{a^2}z=0$ and $a\ne k^3.$
Now, we use $A+B+C=0 \implies A^3+B^3+C^3=3 ABC.$
If $x,y,z$ are solutions of this equation it holds $x^3+a y^3+a^2 z^3=3axyz.$ Also, for $x=ax_1, y=ay_1, z=az_1$ we have $x_1^3+a y_1^3+a^2 z_1^3=3 ax_1y_1z_1.$ Now we can use $x=a^2x_2, y=a^2y_2, z=a^2z_2$and $\implies x_2^3+a y_2^3+a^2 y_2^3=3x_2y_2z_2.$
So, $a^\alpha|x, a^\alpha|y, a^\alpha|z$ for all $\alpha$$\implies x=y=z=0.$
3.case:
$x=\sqrt[3]{a}y=\sqrt[3]{a^2}z$ If $x,y,z$ are integer numbers must be $a=k^3.$ We can see $\{(k^2t,kt,t): k,t\in \mathbb{Z}\}= \{(\sqrt[3]{a^2}t,\sqrt[3]{a}t,t):t\in\mathbb{Z}\}$
$\boxed{\{(\sqrt[3]{a^2}\cdot t,\sqrt[3]{a}\cdot t,t):t\in\mathbb{Z}\}}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group