Propozal ex YUG for IMO 1975

[rsoldo]

Solve in integer the equation

$$x^3+a \cdot y^3+a^2 \cdot z^3=3 \cdot axyz,$$

where is $a \in \mathbb{Z}$.

[nnosipov]

Hint: the polynomial $x^3+ay^3+a^2z^3-3axyz$ can be factored over $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{a})$.

The more interesting problem is the following:

Let $a \in \mathbb{Z}$ be an integer such that $\sqrt[3]{a}$ is irrational. Solve the equation $x^3+ay^3+a^2z^3-3axyz=1$ in integers $x$, $y$, $z$. (You can give an algorithm for enumerating all the solutions.)

[wrest]

rsoldo в сообщении #1486422 писал(а):

Solve in integer the equation

$$x^3+a \cdot y^3+a^2 \cdot z^3=3 \cdot axyz,$$

where is $a \in \mathbb{Z}$.

$z=t;y=kt;x=k^2t;a=k^3$ where $k,t \in \mathbb{Z}$

[nnosipov]

wrest
$a$ is not an unknown. This is a parameter. You must resolve the equation in $x$, $y$, $z$ for any given value of $a$.

-- Пт окт 09, 2020 18:56:17 --

rsoldo в сообщении #1486422 писал(а):

Solve in integer

This must be changed to: Solve in integers $x$, $y$, $z$.

[wrest]

nnosipov в сообщении #1486428 писал(а):

You must resolve the equation in $x$, $y$, $z$ for any given value of $a$.

Не похоже, чтобы для $a \ne t^3, a,t \in \mathbb{Z}$ были какие-то целые решения кроме $x,y,z=0$

[Shadow]

wrest в сообщении #1486439 писал(а):

Не похоже, чтобы для $a \ne t^3, a,t \in \mathbb{Z}$ были какие-то целые решения кроме $x,y,z=0$

Да, неплохо бы доказать. Для положительных $a,x,y,z$ решение следует немедленно из AM-GM откуда и a должно быть кубом. Но задача все таки в целых.

wrest в сообщении #1486425 писал(а):

$z=t;y=kt;x=k^2t;a=k^3$ where $k,t \in \mathbb{Z}$

И еще $\forall y,z \in \mathbb{Z},\; x=-ky-k^2z$

Думаю, можно доказать что a - куб. Что $3\mid v_p(a)$ для любого простого делителия $a$

[nnosipov]

wrest в сообщении #1486439 писал(а):

Не похоже, чтобы для $a \ne t^3, a,t \in \mathbb{Z}$ были какие-то целые решения кроме $x,y,z=0$

You are right. If $a$ is not a perfect cube, the equation has only trivial solution $x=y=z=0$. Can you prove it? (It seems that is not so dificult, see my hint above.)

[rsoldo]

My way:
This equation is equivalent to:

$$ x^3+(\sqrt[3]{a}y)^3+(\sqrt[3]{a^2}z)^3-3x\cdot(\sqrt[3]{a}y)\cdot(\sqrt[3]{a^2}z)=0, $$

Now we can use $A^3+B^3+C^3-3ABC=\frac{1}{2}\cdot (A+B+B)\cdot [(A-B)^2+(A-C)^2+(B-C)^2]$, we have two equations:

$$ x+\sqrt[3]{a}y+\sqrt[3]{a^2}z=0~\text{or}~x=\sqrt[3]{a}y=\sqrt[3]{a^2}z $$

which have yet to be resolved.

[rsoldo]

My solution:

$$x^3+a \cdot y^3+a^2 \cdot z^3=3 \cdot axyz$$

$$x^3+(\sqrt[3]{a}y)^3+(\sqrt[3]{a^2}z)^3-3x\cdot(\sqrt[3]{a}y)\cdot(\sqrt[3]{a^2}z)=0$$

$$(x+\sqrt[3]{a}y+\sqrt[3]{a^2}z)\cdot \left[(x-\sqrt[3]{a}y)^2+(x-\sqrt[3]{a^2}z)^2+(\sqrt[3]{a}y-\sqrt[3]{a^2}z)^2\right]=0$$

If $a=0$ we have $x=0$ and we have solutions $\boxed{\{(0,y_0,z_0):y_0,z_0\in\mathbb{Z}\}} $
If $a\ne 0$ we have:
1.case:
$x+\sqrt[3]{a}y+\sqrt[3]{a^2}z=0$ and $a=k^3$ we can see that $(2tk^2,-tk,-t)$ are solutions.
So, $\boxed{\{(2t\cdot \sqrt[3]{a^2},-t\cdot \sqrt[3]{a},-t):t\in \mathbb{Z}\}}$
2.case:
$x+\sqrt[3]{a}y+\sqrt[3]{a^2}z=0$ and $a\ne k^3.$
Now, we use $A+B+C=0 \implies A^3+B^3+C^3=3 ABC.$
If $x,y,z$ are solutions of this equation it holds $x^3+a y^3+a^2 z^3=3axyz.$ Also, for $x=ax_1, y=ay_1, z=az_1$ we have $x_1^3+a y_1^3+a^2 z_1^3=3 ax_1y_1z_1.$ Now we can use $x=a^2x_2, y=a^2y_2, z=a^2z_2$and $\implies x_2^3+a y_2^3+a^2 y_2^3=3x_2y_2z_2.$
So, $a^\alpha|x, a^\alpha|y, a^\alpha|z$ for all $\alpha$$\implies x=y=z=0.$
3.case:
$x=\sqrt[3]{a}y=\sqrt[3]{a^2}z$ If $x,y,z$ are integer numbers must be $a=k^3.$ We can see $\{(k^2t,kt,t): k,t\in \mathbb{Z}\}= \{(\sqrt[3]{a^2}t,\sqrt[3]{a}t,t):t\in\mathbb{Z}\}$
$\boxed{\{(\sqrt[3]{a^2}\cdot t,\sqrt[3]{a}\cdot t,t):t\in\mathbb{Z}\}}$