Приближение синуса многочленом

[Профессор Снэйп]

Пусть $f_n(x)$ --- многочлен c действительными коэффициентами степени $2n+1$, имеющий нули в точках $-\pi n, -\pi (n-1), \ldots, \pi (n-1), \pi n$. Может ли быть так, что

$$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \sin x $$

для всех $x \in \mathbb{R}$?

[Gafield]

Да.

$$ f_n(x)=x\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{x^2}{k^2 \pi^2}\right). $$

Профессор Снэйп в сообщении #148583 писал(а):

Пусть $f_n(x)$ --- многочлен c действительными коэффициентами степени $2n+1$, имеющий нули в точках $-\pi n, -\pi (n-1), \ldots, \pi (n-1), \pi n$.

Кстати, при указанных условиях такой многочлен единственен с точностью до константы. А именно, выписанный

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

для всех $x \in \mathbb{R}$?

Только не для всех, а для каждого.

Этому многочлену просто деваться некуда. Он -- интерполяционный для синуса, а поскольку все производные самого синуса равномерно ограничены -- погрешность интерполяции убывает.

[gris]

Но что, если взять последовательность многочленов $g_n(x)=A(n)f_n(x)$ , где $A(n)$ - произвольная функция. Корни будут те же самые, но она не будет иметь предела при, например, $A(n)=n$. Или есть какие-то ограничения на коэффициенты7

Добавлено спустя 4 минуты 30 секунд:

Хотя наверное это и имелось в виду в словах Gafield
"с точностью до константы"?

[Brukvalub]

То, что написал Gafield, есть частичное произведение классического разложения синуса в бесконечное произведение:http://bse.sci-lib.com/article113593.html

[ewert]

gris писал(а):

Хотя наверное это и имелось в виду в словах Gafield
"с точностью до константы"?

ну да, ув. Проф. просто неаккуратно сформулировал, а ув. Gafield
предпочёл вежливо не заметить за несущественностью

[Brukvalub]

Да все там и сформулировано, и показано корректно. Просто слова:

Профессор Снэйп в сообщении #148583 писал(а):

Может ли быть так, что

обычно понимают. как: "существует хоть одна такая последовательность многочленов, что...".

[gris]

Интересно бы сравнить частичное произведение и частичную сумму ряда Тейлора. У суммы, правда, корни не в тех точках. Интересный пример различных приближений многочленами.

[Профессор Снэйп]

Пусть $f(x)$ --- функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ с бесконечным числом нулей. В каких случаях существует последовательность многочленов $\{ f_n(x) \}_{n \in \mathbb{N}}$, такая что

1) для любого $n$ все корни многочлена $f_n(x)$ являются нулями функции $f(x)$;
2) последовательность функций $\{ f_n(x) \}_{n \in \mathbb{N}}$ поточечно сходится к $f(x)$?

Мне почему-то кажется, что класс функций $f$ с описанными свойствами довольно узок. К примеру, нужная последовательность многочленов вряд ли существует для функции $\tg (\sin x)$. То, что она существует для синуса, есть скорее случайность, чем закономерность.

Добавлено спустя 6 минут 59 секунд:

Brukvalub писал(а):

То, что написал Gafield, есть частичное произведение классического разложения синуса в бесконечное произведение: http://bse.sci-lib.com/article113593.html

Кстати, а это сложно доказывается (ну то, что указанное бесконечное произведение равно именно значению синуса)? По указанной ссылке просто приведён факт без доказательства.

[Gafield]

Доказывается несложно методами ТФКП.

Цитата:

1) для любого $n$ все корни многочлена $f_n(x)$ являются нулями функции $f(x)$;
2) последовательность функций $\{ f_n(x) \}_{n \in \mathbb{N}}$ поточечно сходится к $f(x)$?

В такой постановке может, и для немногих. Что и неудивительно, поскольку из одной функции можно получить много других, умножая ее на функции, нигде не равные нулю. Однако для целых функций разложение в бесконечное произведение по нулям имеется - теорема Вейерштрасса. Весьма общий факт, можно посмотреть в Шабате.
Правда, там появляются дополнительные множители. Например, обратная к гамма-функции является целой с нулями в неположительных целых и

$$ \frac1{\Gamma(z)}=z e^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac1z\right)e^{-z/n}, $$

где $\gamma$ - постоянная Эйлера.
Возможно, если рассмотреть частичные произведения

$$ z e^{\gamma z}\prod_{n=1}^m \left(1+\frac1z\right)e^{-z/n}, $$

и заменять экспоненты их разложениями по формуле Тейлора в нуле, то поточечная сходимость получится. Конечно, степень будет больше, чем $n+1$, и другие нули будут.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #148780 писал(а):

Кстати, а это сложно доказывается (ну то, что указанное бесконечное произведение равно именно значению синуса)? По указанной ссылке просто приведён факт без доказательства.

Gafield в сообщении #148812 писал(а):

Доказывается несложно методами ТФКП.

Да и методами классического анализа доказывается несложно. См., например Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 2)

[greg93]

Профессор Снэйп в сообщении #148780 писал(а):

Кстати, а это сложно доказывается (ну то, что указанное бесконечное произведение равно именно значению синуса)? По указанной ссылке просто приведён факт без доказательства.

Gafield в сообщении #148812 писал(а):

Доказывается несложно методами ТФКП.

Brukvalub в сообщении #148822 писал(а):

Да и методами классического анализа доказывается несложно. См., например Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 2)

Есть ещё красивое и совсем лёгкое доказательство разложением ${\cos \alpha x}$ в ряд Фурье, подстановкой ${x=\pi}$ и интегрированием полученного равенства. Подробнее расписано в книге Зорич В.А. — Математический анализ (Часть 2).