2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приближение синуса многочленом
Сообщение05.10.2008, 17:09 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Пусть $f_n(x)$ --- многочлен c действительными коэффициентами степени $2n+1$, имеющий нули в точках $-\pi n, -\pi (n-1), \ldots, \pi (n-1), \pi n$. Может ли быть так, что

$$
\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \sin x
$$

для всех $x \in \mathbb{R}$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 17:26 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Да.
$$
f_n(x)=x\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{x^2}{k^2 \pi^2}\right).
$$

Профессор Снэйп в сообщении #148583 писал(а):
Пусть $f_n(x)$ --- многочлен c действительными коэффициентами степени $2n+1$, имеющий нули в точках $-\pi n, -\pi (n-1), \ldots, \pi (n-1), \pi n$.

Кстати, при указанных условиях такой многочлен единственен с точностью до константы. А именно, выписанный :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближение синуса
Сообщение05.10.2008, 17:52 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Профессор Снэйп писал(а):
для всех $x \in \mathbb{R}$?

Только не для всех, а для каждого.

Этому многочлену просто деваться некуда. Он -- интерполяционный для синуса, а поскольку все производные самого синуса равномерно ограничены -- погрешность интерполяции убывает.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13678
Но что, если взять последовательность многочленов $g_n(x)=A(n)f_n(x)$ , где $A(n)$ - произвольная функция. Корни будут те же самые, но она не будет иметь предела при, например, $A(n)=n$. Или есть какие-то ограничения на коэффициенты7

Добавлено спустя 4 минуты 30 секунд:

Хотя наверное это и имелось в виду в словах Gafield
"с точностью до константы"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13282
Москва
То, что написал Gafield, есть частичное произведение классического разложения синуса в бесконечное произведение:http://bse.sci-lib.com/article113593.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 19:01 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
gris писал(а):
Хотя наверное это и имелось в виду в словах Gafield
"с точностью до константы"?

ну да, ув. Проф. просто неаккуратно сформулировал, а ув. Gafield
предпочёл вежливо не заметить за несущественностью

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13282
Москва
Да все там и сформулировано, и показано корректно. Просто слова:
Профессор Снэйп в сообщении #148583 писал(а):
Может ли быть так, что
обычно понимают. как: "существует хоть одна такая последовательность многочленов, что...".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13678
Интересно бы сравнить частичное произведение и частичную сумму ряда Тейлора. У суммы, правда, корни не в тех точках. Интересный пример различных приближений многочленами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 11:34 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Пусть $f(x)$ --- функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ с бесконечным числом нулей. В каких случаях существует последовательность многочленов $\{ f_n(x) \}_{n \in \mathbb{N}}$, такая что

1) для любого $n$ все корни многочлена $f_n(x)$ являются нулями функции $f(x)$;
2) последовательность функций $\{ f_n(x) \}_{n \in \mathbb{N}}$ поточечно сходится к $f(x)$?

Мне почему-то кажется, что класс функций $f$ с описанными свойствами довольно узок. К примеру, нужная последовательность многочленов вряд ли существует для функции $\tg (\sin x)$. То, что она существует для синуса, есть скорее случайность, чем закономерность.

Добавлено спустя 6 минут 59 секунд:

Brukvalub писал(а):
То, что написал Gafield, есть частичное произведение классического разложения синуса в бесконечное произведение: http://bse.sci-lib.com/article113593.html


Кстати, а это сложно доказывается (ну то, что указанное бесконечное произведение равно именно значению синуса)? По указанной ссылке просто приведён факт без доказательства.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 14:23 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Доказывается несложно методами ТФКП.

Цитата:
1) для любого $n$ все корни многочлена $f_n(x)$ являются нулями функции $f(x)$;
2) последовательность функций $\{ f_n(x) \}_{n \in \mathbb{N}}$ поточечно сходится к $f(x)$?

В такой постановке может, и для немногих. Что и неудивительно, поскольку из одной функции можно получить много других, умножая ее на функции, нигде не равные нулю. Однако для целых функций разложение в бесконечное произведение по нулям имеется - теорема Вейерштрасса. Весьма общий факт, можно посмотреть в Шабате.
Правда, там появляются дополнительные множители. Например, обратная к гамма-функции является целой с нулями в неположительных целых и
$$
\frac1{\Gamma(z)}=z e^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty
\left(1+\frac1z\right)e^{-z/n},
$$
где $\gamma$ - постоянная Эйлера.
Возможно, если рассмотреть частичные произведения
$$
z e^{\gamma z}\prod_{n=1}^m
\left(1+\frac1z\right)e^{-z/n},
$$
и заменять экспоненты их разложениями по формуле Тейлора в нуле, то поточечная сходимость получится. Конечно, степень будет больше, чем $n+1$, и другие нули будут.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13282
Москва
Профессор Снэйп в сообщении #148780 писал(а):
Кстати, а это сложно доказывается (ну то, что указанное бесконечное произведение равно именно значению синуса)? По указанной ссылке просто приведён факт без доказательства.

Gafield в сообщении #148812 писал(а):
Доказывается несложно методами ТФКП.
Да и методами классического анализа доказывается несложно. См., например Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 2)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.01.2013, 14:33 


05/01/13
7
Москва
Профессор Снэйп в сообщении #148780 писал(а):
Кстати, а это сложно доказывается (ну то, что указанное бесконечное произведение равно именно значению синуса)? По указанной ссылке просто приведён факт без доказательства.

Gafield в сообщении #148812 писал(а):
Доказывается несложно методами ТФКП.

Brukvalub в сообщении #148822 писал(а):
Да и методами классического анализа доказывается несложно. См., например Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 2)

Есть ещё красивое и совсем лёгкое доказательство разложением ${\cos \alpha x}$ в ряд Фурье, подстановкой ${x=\pi}$ и интегрированием полученного равенства. Подробнее расписано в книге Зорич В.А. — Математический анализ (Часть 2).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group