Старый мотив

[TR63]

Дано уравнение

$$x^2+y^2+ax+by-c=kxy$$

$(a,b,c,k,x,y)\in N^+$, $(a,b,c,k)$ - параметры, $(x;y)$ - переменные.
$k=\frac x y+\frac y x+\frac a y+\frac b x-\frac c {xy}$
При $x\neq y$ из $(x;y)\le c+1$ следует, что $k\le2+a+b+c$.

Вопрос: верно ли, что, если решение существует, то $(x;y)\le c+1$?

Примечание: известно (из источника этой задачи), что, если решение уравнения существует, то
$k\le2+a+b+c$.

[mihiv]

$d=(x,y),x=dx_1, y=dy_1$. Подставим эти выражения для $x,y$ в уравнение. Получим, что $c$ делится на $d$. Отсюда $d\leq c$.

[TR63]

mihiv, для $(x;y)$, имеющих общий множитель, получили верхнюю границу. Осталось найти верхнюю границу для $(x;y)$, которые не имеют общего множителя, или доказать, что для существования решения необходимо наличие общего множителя. Такая необходимость мне не понятно из чего следует. А, верхняя граница при отсутствии общего множителя тоже находится в одну строчку (если я не ошиблась). Тогда задача получается тривиальной. Но мне интересно продолжение, которое из частного случая этого уравнения следует.

[TR63]

Моё решение.

Перепишем исходное уравнение в виде:

$$x^2-(ky-a)x+(y^2+by-c)=0$$

Свободный член $(y^2+by-c)$ может быть положителен либо отрицателен. Смотрим на график. Независимо от знака получаем, что $\max(y)<c$ (если решение существует) т.к. $\frac{-b+\sqrt{b^2+4c}}{2}<c$. Аналогично для переменной $(x)$.
Если замечаний не будет, то перейдём к новому вопросу, возникшему в связи с этой задачей для частного случая.

[Shadow]

TR63, через $(x,y)$, еще $\gcd(x,y)$ обозначается НОД $(x,y)$. Вот и запутали mihiv.
Насчет вашего вопроса - ограничения сверху на решения нет и быть не может (кроме, наверное, некоторые частные случаи для парметров), так как их число, в общем случае - бесконечно (если есть хотя бы одно). Вы можете привести пример бесконечного множества различных натуральных чисел, ограниченных сверху?

[worm2]

Shadow в сообщении #1486016 писал(а):

ограничения сверху на решения нет и быть не может (кроме, наверное, некоторые частные случаи для параметров)

Довольно большой кусок частных случаев — положительная определённость квадратичной формы ($k \leqslant 2$). Тогда ГМТ, удовлетворяющих уравнению — эллипс, и на нём может поместиться только ограниченное количество целых точек.

-- Ср окт 07, 2020 13:54:51 --

Хотя, конечно, $k\leqslant 2$ — это либо 1, либо 2, не то, чтобы густо.

-- Ср окт 07, 2020 14:05:50 --

Другой набор значений $k$, для которых точно будет конечное число решений — удовлетворяющих уравнению Пелля $2k^2-1=m^2$, где $m$ — тоже целое. Тогда исходное уравнение сводится к виду $A^2-B^2=C$ и у него ограниченное число целых решений. Но последовательность таких $k$ растёт быстро: 5, 29, 169, 985, ..., а ограничение $k \leqslant 2+a+b+c$ особо не даст разгуляться. Upd: нет таких значений, я ошибся.

[TR63]

Shadow в сообщении #1486016 писал(а):

Вот и запутали mihiv.

Верно, запутала. Я рассматривала случай, когда $x=dy$. Тогда $y<c$. Спутала этот случай с тем, что рассматривал mihiv.
Shadow, хотелось бы увидеть пример, когда решение существует и $(x;y)>c+1$.

-- 07.10.2020, 13:35 --

Shadow в сообщении #1486016 писал(а):

кроме, наверное, некоторые частные случаи для парметров), так как их число, в общем случае - бесконечно

Кого их? Параметров? Рассматриваются произвольные фиксированные параметры. Граница для $(x;y)$ ищется при зафиксированных параметрах.

[dmd]

$x^2+y^2+ax+by-c=kxy\implies\\ \Big((k^2 - 4) y - (2 b + a k)\Big)^2 - (k^2 - 4) \Big(2 x + a - k y\Big)^2 = (2 b + a k)^2 - (k^2 - 4) (a^2 + 4 c)$

Поскольку это Пелль, то если хотя бы одно решение существует, то решений бесконечно много и они могут быть бесконечно огромны:

(a,b,c,k) = (19, 74, 15, 35)
(x,y) =
(10, 1)
(4700, 135)
(5745466, 164291)
(7026697590, 200926945)
(8593645404476, 245733488631)
(10510021302973930, 300531855667955)
(12853747459891709286, 367550213748419521)
(15720122633426257480220, 449513610882461405415)
(19225697126932853006597146, 549754778559036550402211)
(23513011866116245800810826710, 672349644664090818680497825)
(28756394286563041681538634466556, 822283065669404512209698436951)
(35169046699454733860275949141768650, 1005651516964037054341642507892435)
(43011715357038852948075804261748589766, 1229910982963951648055316577454010241)
(52603292712611817700762848336169383512540, 1504180126513395901534597832583746631495)
. . .


(a,b,c,k) = (61, 52, 53, 258)
(x,y) =
(197, 1)
(13099176, 50773)
(871907339177, 3379536583)
(58035896297186760, 224948713971031)
(3862985328461437766405, 14973036295960212997)
(257128029375014324310249312, 996635241706754983519441)
(17114955887396718126277376925401, 66338034943511988917060803003)
(1139205693519772322546260438598278512, 4415592280913409764590646185950403)
(75827809354948129445927469187701237376805, 293910653335820345807170602512169905641)
(5047250645144851698660051881525509323676602360, 19563280902923281576703479879824407073309997)
. . .

[TR63]

dmd, понятно. Cпасибо.
Я поняла, где ошибка в моём доказательстве: получила противоречие к предложению "Если решение существует, то оно равно $(c+\alpha_1;c+\alpha_2)$". Но из этого не следует, что $(x;y)\le c+1$.

Вопрос: может ли в минимальном решении быть $(x;y)>c+1$?

[dmd]

TR63 в сообщении #1486089 писал(а):

Вопрос: может ли в минимальном решении быть $(x;y)>c+1$?

Да.

(a,b,c,k) = (20, 55, 67, 100)
(x,y) = (45775301, 457799)

(a,b,c,k) = (72, 57, 70, 61)
(x,y) = (405468, 6650)

(a,b,c,k) = (52, 59, 33, 68)
(x,y) = (1008101, 14829)

(a,b,c,k) = (3, 68, 19, 30)
(x,y) = (20402, 681)

(a,b,c,k) = (57, 36, 79, 68)
(x,y) = (62149, 915)

(a,b,c,k) = (35, 31, 38, 22)
(x,y) = (23828, 1087)

(a,b,c,k) = (16, 10, 17, 32)
(x,y) = (687, 22)

Это именно минимальные решения для заданных коэффициентов.

[TR63]

dmd, Большое спасибо за информацию.
По этой задаче вопросов больше у меня нет.
Позже сформулирую задачи, которые возникли в связи с частным случаем исходного уравнения.

[TR63]

Ещё по исходному уравнению возник вопрос:

dmd в сообщении #1486058 писал(а):

Поскольку это Пелль, то если хотя бы одно решение существует, то решений бесконечно много и они могут быть бесконечно огромны

Это не совсем Пелль. Это обобщённый Пелль. Например, Вольфрам говорит, что уравнение
$(9+4x^2)^2-2(18+(y-1)^2)^2=-553$
имеет единственное натуральное положительное решение $(x;y)=(1;2)$. Возможно, он не умеет решать такие уравнения. А, возможно, утверждение dmd для обобщённого Пелля верно не всегда.
Если уравнение $(9+4x^2)^2-2(18 имеет+(y-1)^2)^2=-553$, действительно имеет ограниченное количество решений, то желательно увидеть пример уравнения

dmd в сообщении #1486058 писал(а):

$x^2+y^2+ax+by-c=kxy$
$((k^2 - 4) y - (2 b + a k))^2 - (k^2 - 4) (2 x + a - k y)^2 = (2 b + a k)^2 - (k^2 - 4) (a^2 + 4 c)$

,
имеющего неограниченное количество решений при фиксированных параметрах из их области определения и аналитического обоснования неограниченности решений. Shadow его существование очевидно. С примером, если он существует, это будет ещё очевиднее.
Если утверждение dmd для обобщённого Пелля верно всегда, то для ясности (для меня) достаточно привести бесконечную серию решений для моего примера$(9+4x^2)^2-2(18+(y-1)^2)^2=-553$

[Shadow]

TR63 в сообщении #1486282 писал(а):

А, возможно, утверждение dmd для обобщённого Пелля верно не всегда.

Очень странно, да. Вот говорят, что сильно обобщенное уравнение Пелля $x^2+y^2=z^2$ имеет бесконечно много решений. Однако резко обобщенное $(x^2)^2+(y^2)^2=z^2$ решений не нашлось. Одни нули. Кто-то врет!

[TR63]

Shadow, Вы хотите сказать, что я сильно обобщила? и, если в скобках будет линейная функция, то из существования одного решения из области определения, следует существование бесконечной серии решений из области определения? Тогда понятно. Shadow, я не вру, а хочу выяснить, то, что мне не достаточно понятно. И пример к уравнению, которое решаем, не помешал бы, чтобы было ещё понятней.

[dmd]

TR63

Обратите внимание.
$\Big((k^2 - 4) y - (2 b + a k)\Big)^2 - (k^2 - 4) \Big(2 x + a - k y\Big)^2 = (2 b + a k)^2 - (k^2 - 4) (a^2 + 4 c)$
В больших скобках квадраты над линейными формами переменных. Это всё ещё Пелль, со всеми его свойствами, главное из которых - бесконечная серия решений, если она есть.

А это уравнение
$(9+4x^2)^2-2(18+(y-1)^2)^2=-553$
уже не Пелль, потому что здесь квадраты над квадратными формами переменных, т.е. это биквадратное диофантово уравнение двух переменных. Которое всегда имеет строго конечный набор решений. Его конечно можно решать алгоритмом Пелля, и даже нужно (когда нужно просто получить хоть какие-то решения без доказательства конечности их набора), потому что так решать наиболее легко, но этот способ не доказывает конечность набора решений. Алгоритм дающий конечный набор решений для биквадратного уравнения - крайне нетривиален.