Соотношения Крамерса-Кронига

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. В математике и физике известны соотношения Крамерса-Кронига, которые устанавливают связь между вещественной и мнимой частями отклика системы. Математически это следует из аналитичности функции отклика в частотной области или в принципе причинности во временной. В частотной области эти соотношения получаются известным способом интегрирования по замкнутому контуру и теоремой Коши. Интересный способ я прочитал в статье об получении этих соотношений из временной области. В этом подходе функция $X(t)$ рассматривается в виде $\theta(t)Y(t)$, где $\theta(t)$ - функция Хевисайда. Далее делается преобразование Фурье и получаются сами соотношения. То есть первым шагом было допущения что $X(t)=0$ при $t<0$. Итак, вопрос. Можно ли и как похожим образом ограничить $X(t)$ не только при отрицательных аргументах, но и чтоб эта функция не равнялась выражению со значением времени больше $t$, что также нарушает принцип причинности?
Буду очень благодарен за советы.

[svv]

volchenok в сообщении #1483696 писал(а):

но и чтоб эта функция не равнялась выражению со значением времени больше $t$, что также нарушает принцип причинности?

Поясните, пожалуйста. Какому выражению? Что значит «со значением времени больше $t$»? Почему при этом нарушится принцип причинности?

[Pphantom]

volchenok, предупреждение за дублирование темы. Предыдущая удалена.

[StaticZero]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1483698 писал(а):

нарушится принцип причинности?

В моих академиях такую нецензурную брань применяли, когда к преобразованию Лапласа случайно минус. Может и тут это, того?

[volchenok]

Извините, что долго не отвечал. Нет, тут дело не в знаке. Сама задача из физики. В электродинамике есть так называемые условия излучения Зоммерфельда. Они формулируются в частотной области и выглядят в следующей форме $\frac{1}{k_z(\omega)}\frac{df_\omega(z)}{dz}=if_\omega(z)$ при $z=L$. Однако если сделать обратное преобразование Фурье, что мне нужно для перевода всей задачи во временную область, я получаю следующее выражение $\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{df(z,t')}{dz}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega(t'-t)}}{k_z(\omega)}d \omega dt'=if(z,t)$. Причем интеграл по частоте не убирает промежуток интегрирования по времени так чтоб он был до момента времени t.

[Walker_XXI]

volchenok в сообщении #1485437 писал(а):

Причем интеграл по частоте не убирает промежуток интегрирования по времени так чтоб он был до момента времени t.

Так а почему Вы думаете, что это нарушает принцип причинности?
svv Вас уже спрашивал об этом - не ответили. Наверное стоит подумать, откуда там интеграл по времени, и какой физический смысл это имеет.

[volchenok]

Интеграл по времени появляется в результате преобразования Фурье. Принцип причинности нарушается, так как справа стоит функция в момент времени t, а слева эта же функция от всей числовой оси. Я нигде не смог найти обсуждение такого вопроса. Условия излучения давно известны и широко применяются и об их противоречии принципу причинности нигде не упоминается. Поэтому я обратился за помощью. Возможно я что-то не понимаю или упускаю.

[amon]

volchenok в сообщении #1485437 писал(а):

Причем интеграл по частоте не убирает промежуток интегрирования по времени так чтоб он был до момента времени t.

А почему Вы в этом так уверены? Что Вы знаете про $k_z(\omega)$?

[volchenok]

$k_z(\omega)=\frac{1}{c}\sqrt{\omega^2-a^2}$, где a и с - константы. Интеграл с таким $k_z(\omega)$ сворачивается в функцию Ханкеля второго рода, которая не ноль на всей числовой оси.

[amon]

volchenok в сообщении #1485939 писал(а):

$k_z(\omega)=\frac{1}{c}\sqrt{\omega^2-a^2}$

Это означает, что, скорее всего, Вы где-то соврали. Вы замечательную формулу

$$\frac{1}{k_z(\omega)}\frac{df_\omega(z)}{dz}=if_\omega(z)$$

откуда взяли? Привычное мне условие излучения формулируется как

$$\lim\limits_{R\to\infty}R\left(\frac{\partial f}{\partial R}+ikf\right)=0,$$

и никаких частот и времен там нет. Условие должно выполняться в любое время, хоть днем, хоть ночью.

[volchenok]

все верно, только k- это волновой вектор в Вашей формуле и он зависит от частоты. В моей задаче однородного цилиндрического волновода эти условия превращаются в тот вид, который я написал. Где вместо k $k_z$. Такой вид граничных условий часто и давно используется в волноводных задачах. Пишется уравнение второго порядка для f и два граничных условия с разными знаками при $k_z$. Эти условия сформулированы в частотной области. Однако если само уравнение переводить во временную, то и граничные условия также нужно провести через обратное преобразование Фурье. В результате чего и появляются противоречия.

[svv]

$f_\omega(z)=A_\omega e^{ik_zz}+B_\omega e^{-ik_zz}$
Если обратной волны нет ($B_\omega=0$), то
$\dfrac{df_\omega}{dz}=ik_zf_\omega$
Можно сказать, одномерное условие излучения.

[volchenok]

svv в сообщении #1485986 писал(а):

$f_\omega(z)=A_\omega e^{ik_zz}+B_\omega e^{-ik_zz}$
Если обратной волны нет ($B_\omega=0$), то
$\dfrac{df_\omega}{dz}=ik_zf_\omega$
Можно сказать, одномерное условие излучения.

Так точно, спасибо за уточнение. Ну вот есть у меня такое условие. Оно в частотной области. При переводе во временную возникает парадокс, который почему-то нигде не обсуждается. Что я упускаю или недопонимаю?