Критерий одинаковых ХМ у матриц?

[artempalkin]

На основе недавней темы на форуме пришло в голову, не верен ли случайно такой критерий (все матрицы квадратные одного порядка):

Для двух матриц $C$ и $D$ существуют такие матрицы $A$ и $B$, что $C=AB$ и $D=BA$ тогда и только тогда, когда у них одинаковый характеристический многочлен

С помощью уважаемых участников я понял, как доказывать, что у матриц $AB$ и $BA$ одинаковый ХМ. Подозреваю, что возможно доказать, что если у двух матриц ХМ одинаковый, то они представимы в виде $AB$ и $BA$. Особо идей, как это сделать, пока нет, может быть, у кого-то найдутся какие-то мысли на эту тему?

[Nemiroff]

$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$

[artempalkin]

Nemiroff
Хмм, да, что-то не работает... а если рассмотреть только вырожденный случай?

[svv]

Приведём $C$ и $D$ к жордановой форме (получим $J_C$ и $J_D$). Хотя для каждого $\lambda$ матрицы $J_C$ и $J_D$ имеют одинаковое число диагональных элементов, равных $\lambda$, структура жордановых клеток может различаться.

Один хороший случай: $J_C$ и $J_D$ совпадают с точностью до порядка жордановых клеток. Тогда $C$ и $D$ подобны, т.е. существует такая невырожденная матрица $A$, что $D=A^{-1}CA$. Обозначим $B=A^{-1}C$. ...

Один плохой случай: есть такое с.з. $\lambda\neq 0$, что его геометрические кратности у $C$ и $D$ различны. Тогда представления $C=AB, D=BA$ не существует, потому что

H.Flanders в статье Elementary divisors of AB and BA писал(а):

Theorem 1. The geometric multiplicities of the nonzero characteristic roots of $AB$ coincide with those of $BA$.

Конечно, эти случаи не исчерпывают всех возможностей.

[artempalkin]

svv
Да, спасибо большое! Очень хороший момент.

Возможно, это и будет критерием? Совпадение ХМ и геометрических кратностей ненулевых СЗ?

-- 06.10.2020, 10:36 --

По крайней мере можно рассмотреть лемму "$J_0(n)$ и $O(n)$ представимы в виде $AB$ и $BA$"

[svv]

Предположим, что матрицы $C$ и $D$ представимы в виде $C=AB, D=BA$.

artempalkin в сообщении #1485895 писал(а):

Возможно, это и будет критерием? Совпадение ХМ и геометрических кратностей ненулевых СЗ?

Матрицы $C,D$ либо обе невырождены, либо обе вырождены.

Если обе невырождены, то также невырождены $A,B$. Тогда $BA=A^{-1}(AB)A$, т.е. $D=A^{-1}CA$, и $C$ и $D$ подобны (приёмчик, который я использовал выше в "хорошем" случае, только в обратную сторону). Значит, у $C$ и $D$ должны совпадать ЖНФ (с точностью до перестановки блоков), а не только геометрические кратности собственных значений.

Если $C$ и $D$ вырождены, у них совпадают структуры жордановых блоков, соответствующих ненулевым собственным значениям (а не только геометрические кратности). См. ту же статью H.Flanders, Elementary divisors of AB and BA, Theorem 2 — на эту теорему я сначала не обратил внимания.

Остаётся в случае вырожденных $C$ и $D$ рассмотреть блоки, соответствующие нулевому собственному значению (что Вы и предложили). Тоже были какие-то статьи.