Касательные к окружности 9 точек.

[Сергей Маркелов]

В треугольнике $ABC$ проведена касательная к описанной окружности в вершине $A$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $D$. Из точки $D$ проведены касательные $DE$ и $DF$ к окружности, проходящей через точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $ABC$. Докажите, что точки A,E и F лежат на одной прямой.

(живой чертёж в GeoGebra)

[Sergic Primazon]

Окружность постороенная на диаметре $AD$ и окружность девяти точек - ортогональны.
т.е. точки $A$ и $D$ полярно сопряжены относительно окружности девяти точек.
Поэтому точки $A, E, F $ лежат на поляре точки $D$ относительно окружности девяти точек)))

[nnosipov]

Пусть $O$ --- центр окружности, проходящей через $A_1$, $B_1$, $C_1$. Пусть также $K$ --- точка пересечения $OD$ и $EF$. Достаточно проверить, что $AK$ перпендикулярна $OD$. Это тривиально, поскольку все персонажи рационально выражаются через $A$, $B$, $C$.