2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Касательные к окружности 9 точек.
Сообщение04.10.2020, 13:42 


29/06/08
53
В треугольнике $ABC$ проведена касательная к описанной окружности в вершине $A$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $D$. Из точки $D$ проведены касательные $DE$ и $DF$ к окружности, проходящей через точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $ABC$. Докажите, что точки A,E и F лежат на одной прямой.

(живой чертёж в GeoGebra)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательные к окружности 9 точек.
Сообщение04.10.2020, 17:36 


30/03/08
196
St.Peterburg
Окружность постороенная на диаметре $AD$ и окружность девяти точек - ортогональны.
т.е. точки $A$ и $D$ полярно сопряжены относительно окружности девяти точек.
Поэтому точки $A, E, F $ лежат на поляре точки $D$ относительно окружности девяти точек)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательные к окружности 9 точек.
Сообщение04.10.2020, 20:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9176
Пусть $O$ --- центр окружности, проходящей через $A_1$, $B_1$, $C_1$. Пусть также $K$ --- точка пересечения $OD$ и $EF$. Достаточно проверить, что $AK$ перпендикулярна $OD$. Это тривиально, поскольку все персонажи рационально выражаются через $A$, $B$, $C$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group