Рациональные функции A,B,C

[scwec]

Рациональные числа $a,b,c$, таковы, что $a^2+b^2=c^2$
Найдите рациональные функции $A=A(a,b,c),B=B(a,b,c),C=C(a,b,c)$
такие, что $A^2+B^2=C^2$ и $ac=AC$, ( $c\ne{C}$).

[alisa-lebovski]

Поменять знаки у $a,C$.

[scwec]

alisa-lebovski в сообщении #1485672 писал(а):

Поменять знаки у $a,C$.

Принимается как шутка.
Видимо, в условии надо было добавить, что $a,b,c,A,B,C$ - длины сторон прямоугольных треугольников.

[nnosipov]

Вот было бы $ab=AB$, я бы знал, что делать.

А, так это же принципиально одно и то же. Только эллиптическая кривая будет другой.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1485677 писал(а):

Вот было бы $ab=AB$, я бы знал, что делать.

А, так это же принципиально одно и то же. Только эллиптическая кривая будет другой

Здесь есть о чём подумать.
Хорошо бы выражения для $A,B,C$ написать.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1485678 писал(а):

Здесь есть о чём подумать.

Ну, разве что потребовать, чтобы искомые выражения для $A$, $B$, $C$ были попроще. А если нас интересуют просто какие-нибудь $A$, $B$, $C$, то все как в классическом случае (переходим к эллиптической кривой, там удваиваем, возвращаемся назад).

Кстати, можно просто подшаманить формулы для классического случая: сделать замену $b \to ib$, $c \to ic$, после чего переобозначить.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1485694 писал(а):

А если нас интересуют просто какие-нибудь $A$, $B$, $C$, то все как в классическом случае (переходим к эллиптической кривой, там удваиваем, возвращаемся назад).

На самом деле здесь имеются интересные конкретности, которые нужно либо знать,
либо придумать.
Конечно, выражений для $A,B,C$ бесконечное число, но хотя бы один вариант нужно изложить.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1485712 писал(а):

но хотя бы один вариант нужно изложить

Уговорили (мне так неохота писать лекцию на завтра, что готов отвлечься на что угодно). Вот:

$$A=\frac{2abc}{a^2+c^2}, \quad B=\frac{b^4-4a^2c^2}{2b(a^2+c^2)}, \quad C=\frac{a^2+c^2}{2b}.$$

В общем, подшаманил известные формулы.

[scwec]

Ну вот, давно бы так. Кстати, а если вместо $AC=ac$ нужно $A^2-B^2=a^2-b^2$

[nnosipov]

Ну, это то же самое, как будто мы имели бы дело с уравнением $a^2+b^2=2c^2$ и надо было бы получить $AB=ab$. Однако здесь на халяву уже не удается. Ладно, подумаю завтра.

[scwec]

Полезно решить задачу, когда $AC=a^2-b^2$.
Здесь имеются компактные выражения для $A,B,C$

[Shadow]

scwec в сообщении #1485860 писал(а):

Полезно решить задачу, когда $AC=a^2-b^2$.

$A=\dfrac{2abc(a^2-b^2)}{a^4+b^4};\;B=\dfrac{a^8-6a^4b^4+b^8}{2abc(a^4+b^4)};\;C=\dfrac{a^4+b^4}{2abc}$

Числитель $B$ разлагается на множители и наверно можно сделать более компактным.

[scwec]

Ответ, данный Shadow и имелся в виду.
И ещё один вариант для решения: $AC=a^2+c^2$

[Shadow]

scwec в сообщении #1485930 писал(а):

Ответ, данный Shadow и имелся в виду.

Да, он получен из базового решения
$A=\dfrac{a^2-b^2}{c};\;B=\dfrac{2ab}{c};\;C=\dfrac{a^2+b^2}{c}=c$
удвоением точки на эллиптической кривой.

scwec в сообщении #1485930 писал(а):

И ещё один вариант для решения: $AC=a^2+c^2$

Тут аналогично, базовое решение будет
$A=\dfrac{c^2-a^2}{b}=b;\;B=\dfrac{2ac}{b};\;C=\dfrac{c^2+a^2}{b}$

Кстати, оно само по себе удовлетворяет условию $A\ne a,B\ne b, C\ne c$ и сойдет за нетривиальное. Но можно и удвоить.

[scwec]

Shadow в сообщении #1486005 писал(а):

scwec в сообщении #1485930
писал(а):
И ещё один вариант для решения: $AC=a^2+c^2$

Здесь предполагалось решение
$A=\dfrac{2abc(a^2+c^2)}{a^4+c^4}$,
$B=\left|\dfrac{(2a^4-b^4)(2c^4-b^4)}{2abc(a^4+c^4)}\right|$,
$C=\dfrac{a^4+c^4}{2abc}$

Замечу, что в основу всех решений можно положить то обстоятельство, что
если положительные рациональные $a,b,c$ - длины сторон прямоугольного треугольника, т.е. $a^2+b^2=c^2$, то числа $ac, bc, a^2-b^2,a^2+c^2,b^2+c^2$ вместе с $ab/2$ являются конгруэнтными и треугольники, где эти числа являются площадями, могут допускать простые рациональные выражения для длин сторон.

В этой теме остался пока нерешенным вариант $A^2-B^2=a^2-b^2$