Разрешимость матричного уравнения

[Утундрий]

Копался в теориях столетней давности и нарисовалась такая задачка. Есть система относительно $x_{\mu \nu } = - x_{\nu \mu }$ вида

$$\omega _\mu ^\alpha x_{\alpha \nu } - \omega _\nu ^\alpha x_{\alpha \mu } = f_{\mu \nu } $$

где $\omega $ - бесследовая матрица: $\omega _\alpha ^\alpha = 0$. Спрашивается, при каких ограничениях на $f$ существует ненулевое решение $x$?

Для первых размерностей можно руками, но квадратичный рост...

[novichok2018]

Это не матричное уравнение Риккати?

[Утундрий]

novichok2018 в сообщении #1485536 писал(а):

Это не матричное уравнение Риккати?

Здесь же нет производных.

[novichok2018]

Есть два типа уравнений Риккати. В матричных уравнениях нет производных, это аналог квадратного уравнения для матриц. См. книгу Егорова, например. Есть дифференциальные уравнения Риккати, и для функций, и для матриц.

[Утундрий]

novichok2018
Спасибо за книгу, с интересом полистал.

Собственно, идея привести что-нибудь к какому-то прощённому виду - напрашивается всегда. Я только не сообразил, что преобразование координат (это всё тензоры) выглядит для матрицы $\omega$ в точности как приведение к жордановой форме:

$$\omega _{\beta '}^{\alpha '} = x_{,\mu }^{\alpha '} \omega _\nu ^\mu x_{,\beta '}^\nu \qquad \Leftrightarrow \qquad \hat \omega _J = \hat U \cdot \hat \omega \cdot \hat U^{ - 1} $$

Это упрощает перебор вариантов.

[novichok2018]

Про матричное Риккати есть и ещё тексты, есть что-то у Радкевича с соавтором, он говорил, что у Егорова есть неточности. Наверное Вы знаете без меня, есть статьи Зеликина в МС, у него кажется есть книга, работы Захар-Иткина в УМН и пр. По дифференциальному Риккати в основном западная литература, начиная с книги Reid.