"Задача, взятая с потолка" (Д/Г, плоские кривые)

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

$R=$$(1+y')^{3/2}$/$y''$.

$y'$ в квадрате, а я в отпуске...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

$y'$ в квадрате, а я в отпуске...

Подправил, см пост выше - с квадратом считал ранее - все равно не сходится...

[Алексей К.]

Дык Ваши выкладки давно пора в студию запузырить...

[e7e5]

Выкладки такие
Здесь $k(s)=$$1/R$ , R - кривизна
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$

$R=$$(1+y'^2)^{3/2}$/$y''$ .
Т.е.$(1+y'^2)^{1/2}=$x/2b$
$y''=$x$/$$b$(x^2-4b)^{1/2}$
Также в принятых обозначениях $C=$$1/2b$
$S=$$x^2/4b$
$x^2=$$4bs$
$R=$$b(x/2b)^3$$\sqrt{x^2-4b^2}$/$x$
$R=$$S/2b$*$\sqrt{4bs-4b^2}$ ,
$R=$$\frac {s} {\sqrt b}$$\sqrt{s-b}$
k(s)=1/R эквивалентно $d \tau /ds$ - отсюда

$$\tau (s)=\int\limits_b^s \frac { \sqrt b ds} {s(s-b)^{1/2}},$$

- вроде такой же как в теме "Табличный интеграл и подстановка".

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #152640 писал(а):

вроде такой же как в теме "Табличный интеграл и подстановка".

Слишком долго писал ответ в той теме. Пока упокаиваюсь.

Добавлено спустя 3 минуты 31 секунду:

e7e5 писал(а):

Здесь $k(s)=$$1/R$ , R - кривизна

Невыносимое нарушение привычных обозначенией. R --- радиус (радиус кривизны, радиус окружности, радиус сходимости ряда, радиус сферы).

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$
$y''=$x$/$$b$(x^2-4b)^{1/2}$

Неверно вычислено $y''$.
(Не представляю, как компилируется Ваша запись для $y''$. Внутри формулы доллары не нужны).

Вместо $y''=$x$/$$b$(x^2-4b)^{1/2}$  достаточно   $y''=x/b(x^2-4b)^{1/2}$
                                     А надо бы    $y''=x/ [ b(x^2-4b)^{1/2} ] $

+ исправить ошибку.
Ну и дроби Вы вроде умеете писать.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$
$y''=$x$/$$b$(x^2-4b)^{1/2}$

Неверно вычислено $y''$.

Проверил еще раз, похоже двойки не вписал?
Получилось так:
$y''= \frac {x} {2b*(x^2-4b^2)^{1/2}}$

[Алексей К.]

Да.

[e7e5]

Здесь $k(s)=$$1/R$ , R - РАДИУС кривизны
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$

$R=$$(1+y'^2)^{3/2}$/$y''$ .
Т.е.$(1+y'^2)^{1/2}=$x/2b$

$s=x^2/4b$
$x^2=4bs$
$R=2b(x/2b)^3 \frac {\sqrt{x^2-4b^2}} {x}$
$R=2s/2b* \sqrt{4bs-4b^2}$ ,

$R=\frac {2s} {\sqrt b} \sqrt{s-b}$
k(s)=1/R эквивалентно $d \tau /ds$ - отсюда

$$\tau (s)=\int\limits_b^s \frac { \sqrt b ds} {2s(s-b)^{1/2}},$$

- вроде такой же как в теме "Табличный интеграл и подстановка" Правильно?

[Алексей К.]

Сходил, посмотрел, сравнил, --- вроде такой же. Постоянным множителем отличается.

e7e5 в сообщении #150522 писал(а):

Вычислить:
$\int \frac {dx} {x(x-b)^{1/2}}$ , $b$>$0$

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Сходил, посмотрел, сравнил, --- вроде такой же. Постоянным множителем отличается.

e7e5 в сообщении #150522 писал(а):

Вычислить:
$\int \frac {dx} {x(x-b)^{1/2}}$ , $b$>$0$

Как же теперь логический переход дальше выполнить, чтобы получить как у вас формулы?

Добавлено спустя 8 минут 52 секунды:

Т.е именно;
Cos \tau= \sqrt \frac {b} {s+b}
Sin \tau= \sqrt \frac {s} {s+b}

Чтобы они получились? Начинать отсчёт длины дуги с нуля?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #153071 писал(а):

Как же теперь логический переход дальше выполнить, чтобы получить как у вас формулы?

Для начала --- поменять цель. "Получить как у меня формулы" вроде как мелочь (тем более, что я их написал с первого раза и, как часто стало случалось, мог наошибаться).
У Вас придумалась кривая. Henrylee перевёл её в дифф. уравнение. Не помню, кто привёл решение. В принципе --- достаточно: есть параметрическое (или даже явное, $y(x)\,$), уравнение.
Мне потом захотелось увидеть натуральное уравнение. (Это моя личная особенность, или каждый захотел бы этого?) Вот, эллипс, например, --- в каждой дырке затычка (ну, во многих дырках), а натуральное уравнение никому наф. не нужно. А я у всех кривых, которые мне на пути встречались, испрашивал натуральное уравнение.

e7e5 писал(а):

Как же теперь логический переход дальше выполнить, чтобы получить как у вас формулы?

Надо повторить выкладки, сделанные пару постов назад, с учётом найденных ошибок, и без создания новых. Обострённый интерес к $\cos\tau,\:\sin\tau$ ничем не оправдан --- это какие-то промежуточные результаты, в финале неинтересные.
Я считаю, что $k(s)$ --- "более натуральное" уравнение, чем $\tau(s)$, хотя сей термин применяют к обоим: $k(s)$, в отличие от $\tau(s)$, совсем не зависит от преобразований координат (движений). А в большинстве (известных мне) старых книг --- я имею в виду давность 100-150 лет --- работают с $\tau(s)$ или $s(\tau)$,

Добавлено спустя 7 минут 48 секунд:

$$y(x)\to\left\{\begin{array}{l}s(x)\\k(x)\end{array}\right.\to k(s).$$

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

Как же теперь логический переход дальше выполнить, чтобы получить как у вас формулы?

Надо повторить выкладки, сделанные пару постов назад, с учётом найденных ошибок, и без создания новых. Обострённый интерес к $\cos\tau,\:\sin\tau$ ничем не оправдан --- это какие-то промежуточные результаты, в финале неинтересные.
Я считаю, что $k(s)$ --- "более натуральное" уравнение, чем $\tau(s)$, хотя сей термин применяют к обоим: $k(s)$, в отличие от $\tau(s)$, совсем не зависит от преобразований координат (движений). А в большинстве (известных мне) старых книг --- я имею в виду давность 100-150 лет --- работают с $\tau(s)$ или $s(\tau)$,

Повторил и неоднократно, все равно получается
$R=\frac {2 \sigma} {\sqrt b} \sqrt{\sigma-b}$


Если теперь начинать отсчет от начала кривой, сделав замену $s=\sigma-b$ и
k(s)=1/R. то
$k(s)=\dfrac{1}{2(s+b)}\sqrt{\dfrac{b}{s}}.$ - наутральное уравнение, как у Вас получилось.

Вы так считали? или как то по другому?

[Алексей К.]

Я не помню, конечно, но скорее всего естественным путём, предложенным выше:

$$y(x)\to\left\{\begin{array}{l}s(x)\\k(x)\end{array}\right.\stackrel{\mbox{\tiny исключая $x$}}\to k(s).$$

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

$$y(x)\to\left\{\begin{array}{l}s(x)\\k(x)\end{array}\right.\stackrel{\mbox{\tiny исключая $x$}}\to k(s).$$

Мое понимание такое, что именно так и решал.
Правда, $y(x)$ как функция в явном виде не присутствовала....
Нашел $s(x)$

Henrylee писал(а):

Навскидку "вульгарно" в голову приходит следующее
$ds=C x\,dx$

зетем $k(x)$ на основе $y'(x)$ , исключил $x$, получил $k(s)$

Вы можете дать задачку на какую-нибудь "простую" кривую с ответом, чтобы себя смог проверить?

Также подскажите пожлуйста, как у Вас получилось?

Алексей К. писал(а):

Параметризация:
$x(t)=2b\ch t,\quad y(t)=\dfrac{b}{2}\sh(2t)-bt \quad\left(\sh t=\sqrt{\dfrac{s}{b}}\right)$.
Явное уравнение --- табличный интергал.