задача про графики функций

[maxmatem]

Всем доброго вечера.

Может баян, но все же.

Найдите количество общих точек графиков функций
$y=x^3+6x$ и $y=12x^2+1$

а также абсциссы этих точек.

Ну интуитивно понятно что примерно строим графики $y=x^3-1$ и $y=12x^2-6x$ и в принципе понимаем, что точка пересечения одна.
Задача сводится к решению уравнения

$$x^3-12x^2+6x-1=0$$

понятно , что рациональных корней нет, а значит возможны варианты...... либо кардано либо, ...вот и вопрос как ?

очень хотелось бы без привлечения Кардано

[wrest]

maxmatem в сообщении #1485409 писал(а):

Задача сводится к решению уравнения

$$x^3-12x^2+6x-1=0$$

понятно , что рациональных корней нет, а значит возможны варианты...... либо кардано либо, ...вот и вопрос как ?

Ну это кубическая парабола, с двумя вершинами и обе ниже нуля, так что корень один и он правее правой вершины.

[TOTAL]

Предлагаю замену

$$x=\dfrac{y}{2-7^{1/3}}$$

[maxmatem]

TOTAL в сообщении #1485413 писал(а):

Предлагаю замену

$$x=\dfrac{y}{2-7^{1/3}}$$

а это уже интересно!!!

(Оффтоп)

если не секрет, почему именно такая замена ? что навеяло ее ?

-- Чт окт 01, 2020 23:06:08 --

wrest
это то как раз очевидно, интересны методы (элементарные) отыскания корня

[TOTAL]

maxmatem в сообщении #1485414 писал(а):

почему именно такая замена ? что навеяло ее ?

Её навеяло нежелание сразу писать ответ.

[maxmatem]

TOTAL в сообщении #1485416 писал(а):

maxmatem в сообщении #1485414 писал(а):

почему именно такая замена ? что навеяло ее ?

Её навеяло нежелание сразу писать ответ.

Вы хотите сказать , что корень настолько очевиден ?

[nnosipov]

maxmatem
А чем формула Кардано не угодила? Она вполне элементарна и в не неприводимом случае либо дает ответ в неупрощаемом виде, либо уравнение имеет рациональный корень (речь только об уравнениях с рациональными коэффициентами). Вы рациональных корней не нашли. Значит, единственный корень находится по формуле, причем в виде, который уже не упростишь. В данном случае и вид-то будет простейший --- с обычными (не вложенными радикалами).

-- Пт окт 02, 2020 10:23:04 --

maxmatem в сообщении #1485409 писал(а):

очень хотелось бы без привлечения Кардано

Вот не понимаю я такой тяги к извращениям. Ладно бы был неприводимый случай, там иногда без них не обойтись. Но в данном-то случае зачем?

[maxmatem]

nnosipov
Тяга к решению без Кардано обусловлена тем что это с олимпиады «Покори Воробьёвы горы « для 10 класса .( по моему за 2012 год )
Вот и подумал что скорее всего авторы задачи вкладывали в решение не Кардано .
Авторское решение не нашёл :(

В принципе тему наверное надо закрыть , тк по видимому и обсуждать то и нечего .
Всем большое спасибо за ответы .

[nnosipov]

maxmatem в сообщении #1485444 писал(а):

Авторское решение не нашёл :(

МЦНМО выпускало брошюру с решениями за какие-то годы, я даже ее как-то приобрел (в связи с этой темой topic79407.html). Но сейчас на руках нет.

На ПВГ школьники могут чего-то дополнительно читать типа Гашкова "Современная элементарная алгебра в задачах и решения", там про решение уравнений 3-й и 4-й степени довольно подробно написано.

[maxmatem]

nnosipov
спасибо за ответы )

[TOTAL]

maxmatem в сообщении #1485422 писал(а):

TOTAL в сообщении #1485416 писал(а):

maxmatem в сообщении #1485414 писал(а):

почему именно такая замена ? что навеяло ее ?

Её навеяло нежелание сразу писать ответ.

Вы хотите сказать , что корень настолько очевиден ?

Да, очевиден:

$$(8x^3-12x^2+6x-1) -7x^3=0$$