Теория множеств, а что с обратными трансфинитным числами?

[karakulov_mp]

Добрый день! Подскажите пожалуйста, где тут в моем рассуждении ошибка или упущение, заинтересовал вопрос и не могу разобраться.
Желательно, как можно больше "на пальцах", с наглядными иллюстрациями.

1. Г.Кантором в свое время введены "трансфинитные ординалы", из которых самый маленький $\omega$, "больше любого натурального числа", при этом:
(цитата из википедии)

Цитата:

Наименьшее бесконечно большое порядковое число $\omega$ отождествляется с кардинальным числом $\aleph_{0}$

т.е. понятно о чем речь, говоря по-простому, что $\omega$, что $\aleph_{0}$ - это всё аналоги +$\infty$ но с разной степенью детализации и на разных типах объектов.

2. Множество чисел, обратных к натуральным, т.е. $\left\lbrace \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ... \right\rbrace$, очевидно, счётное, как и множество натуральных чисел.
Соответственно, по аналогии, здесь можно ввести в рассмотрение некий "запредельный элемент", который на этот раз выберем меньшим любого элемента из рассмотренного множества обратных к натуральным чисел, обозначим его $\varepsilon$. Все числа в этом множестве рациональные, поэтому и $\varepsilon$ рациональное (соблюдается представимость в виде отношения натуральных чисел, наличие других рациональных чисел между двумя заданными и тд.).

3. Теперь рассмотрим множество чисел на отрезке [0, $\varepsilon$].
Какими свойствами обладает это множество и какова его мощность?
- оно не пустое, т.к. $\varepsilon$ - рациональное (их множество счетное), значит внутри данного отрезка должны быть иррациональные числа (их множество несчетное, более плотное),
- там не будет больше рациональных чисел, т.к. в противном случае за $\varepsilon$ приняли бы другое число.
- итого, если в нем остаются иррациональные числа и его мощность "континуум", то мощность исходного множества $[0, 1]$ была бы больше $\aleph_{0}$, следовательно оно счетное, несмотря на то, что в нем только иррациональные числа.

Лирическое отступление.
Почему-то в мат.анализе рассматриваются на равных как бесконечно малые так и бесконечно большие функции (величины), а в теории множеств дошло только до бесконечно больших (транфинитных) вещей, но не до обратных им "транфинитно малых", или же я всё пропустил? где почитать? т.н. "нестандартный" анализ, как я понял, немного про другое, интересует именно заезд в тему с точки зрения теории множеств.

[Mikhail_K]

karakulov_mp в сообщении #1484137 писал(а):

Соответственно, по аналогии, здесь можно ввести в рассмотрение некий "запредельный элемент", который на этот раз выберем меньшим любого элемента из рассмотренного множества обратных к натуральным чисел, обозначим его $\varepsilon$.

Ну, пусть. Но пока Вы строго не опишите Ваше "расширенное" множество чисел, включающее $\varepsilon$, нельзя делать поспешных и необоснованных выводов вроде такого:

karakulov_mp в сообщении #1484137 писал(а):

Все числа в этом множестве рациональные, поэтому и $\varepsilon$ рациональное (соблюдается представимость в виде отношения натуральных чисел, наличие других рациональных чисел между двумя заданными и тд.).

Это очевидно неверный вывод, так как Ваше $\varepsilon$ точно нельзя представить в виде отношения двух натуральных чисел, если понятие натуральных чисел не расширить как-нибудь.

karakulov_mp в сообщении #1484137 писал(а):

Теперь рассмотрим множество чисел на отрезке [0, $\varepsilon$].

А что это за множество такое? В теории трансфинитных чисел никто не говорит про множество $[\omega,\omega+1]$ (если под ним не понимать множество, состоящее из этих двух элементов). Нет такого числа $\omega+0.5$, или даже числа $\omega-1$.

karakulov_mp в сообщении #1484137 писал(а):

- оно не пустое, т.к. $\varepsilon$ - рациональное (их множество счетное), значит внутри данного отрезка должны быть иррациональные числа (их множество несчетное, более плотное),
- там не будет больше рациональных чисел, т.к. в противном случае за $\varepsilon$ приняли бы другое число.
- итого, если в нем остаются иррациональные числа и его мощность "континуум", то мощность исходного множества $[0, 1]$ была бы больше $\aleph_{0}$, следовательно оно счетное, несмотря на то, что в нем только иррациональные числа.

Нет, так не делается. Нельзя без обоснования переносить свойства рациональных и иррациональных чисел на Ваши "новые числа". Тем более если не только обоснования, но даже и их толкового описания нет.

karakulov_mp в сообщении #1484137 писал(а):

Почему-то в мат.анализе рассматриваются на равных как бесконечно малые так и бесконечно большие функции (величины), а в теории множеств дошло только до бесконечно больших (транфинитных) вещей, но не до обратных им "транфинитно малых"

И это вполне объяснимо. Трансфинитные числа - это одно из возможных продолжений натурального ряда. Если Вы хотите расширять вещественную прямую, то это можно сделать по-разному. Например, как в нестандартном анализе. Но ничего похожего на трансфинитные числа в таких расширениях Вы, скорее всего, не увидите.

[george66]

Есть "сюрреальные числа Конвэя", это поле, содержащее все ординалы. Пользы от них почти нет, но интересно. Книга
Conway "On Numbers and Games"

[Padawan]

george66
Здорово! Очень интересно.