Различные принципы непрерывности

[ewert]

VoprosT в сообщении #1483911 писал(а):

как из леммы о конечном покрытии вывести аксиому полноты.

Такого рода эквивалентности лучше доказывать на попарно, а цепочкой -- по кругу.

Вот давайте считать, что аксиома Архимеда в любом случае есть -- чтобы на неё не отвлекаться.

Тогда есть несколько принципиальных утверждений, каждое из которых может исполнять роль аксиомы полноты.

1). Любое ограниченное множество имеет супремум.
2). Ограниченная монотонная последовательность сходится.
3). Принцип вложенных отрезков.
4). Из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
5). Любая фундаментальная последовательность сходится.

Достаточно очевидна цепочка $1)\ \Rightarrow\ 2)\ \Rightarrow\ 3)\ \Rightarrow\ 4)\ \Rightarrow\ 5)$ (некоторых усилий требует разве что переход $3)\ \Rightarrow\ 4)$, но тоже небольших).

Теперь осталось доказать $5)\ \Rightarrow\ 1)$ (что тоже нетрудно, как только поставишь себе эту задачу) -- вот и эквивалентность.

А вот где тут место для леммы о конечном покрытии (надо полагать, Гейне-Бореля) -- непонятно. Она слишком тяжела по формулировке, чтобы служить аксиомой. Всё-таки понятия открытого и замкнутого множества не вполне тривиальны (в тех пяти утверждениях они не нужны).

Нет, ну можно поизвращаться, конечно, Скажем, так. Берём строго монотонную ограниченную последовательность; предположим, что у неё нет предела -- тогда множество её элементов замкнуто. Окружаем её набором непересекающихся интервалом и пытаемся выбрать конечное подпокрытие -- всё, приплыли.
Но, по-моему, это именно извращение.

[VoprosT]

ewert в сообщении #1484008 писал(а):

предположим, что у неё нет предела -- тогда множество её элементов замкнуто.

Вот этот переход не понял. Просто на том уровне знаний в книге не обсуждались замкнутые и открытые множества в общем виде, только отрезки и интервалы. И в условии теоремы тоже

ewert в сообщении #1484008 писал(а):

Но, по-моему, это именно извращение.

Просто хочется разобраться с упражнением с тем набором знаний, которые предполагается у читателя в этом месте книги(чуть выше я приводил упражнение в том виде, в каком оно в книге)

[ewert]

Ну посмотрел-таки, что там у Зорича за лемма. Оказывается, он приписывает её Борелю-Лебегу и формулирует в минимальном варианте: из любого покрытия отрезка интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.

Тогда из неё легко вывести, например, аксиому полноты в варианте Дедекинда. Пусть $A_-,\;A_+$ -- какое-либо сечение; надо доказать, что у него есть разделяющий элемент. Предположим, что это не так. Окружим каждый элемент $x\in A_-$ интервалом, не захватывающим точек из $A_+$ (если бы такого интервала не существовало, т.е. если бы в $A_+$ нашлись точки, сколь угодно близкие к $x$, то $x$ был бы разделяющим). Аналогичную процедуру проведём для $A_+$.

Теперь возьмём любые $a\in A_-$ и $b\in A_+$. Набор выбранных интервалов покрывает отрезок $[a;b]$, и по лемме Бореля-Лебега из него можно выбрать конечное подпокрытие. Это противоречит тому, что каждый интервал, выбранный для $A_-$, лежит строго левее любого интервала, относящегося к $A_+$.

[VoprosT]

Спасибо!

[VoprosT]

Кажется, я убедил себя в том, что понял, а на деле не понял
Как конечное подпокрытие вступает в противоречие с тем, что каждый интервал для $A_-$ лежит строго левее любого интервала для $A_+$?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1485298 писал(а):

Как конечное подпокрытие вступает в противоречие с тем, что каждый интервал для $A_-$ лежит строго левее любого интервала для $A_+$?

Два непересекающихся интервала можно разделить. А если покрытие конечное, то из интервалов, покрывающих $A_-$. можно выбрать самый правый...

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1485301 писал(а):

Два непересекающихся интервала можно разделить. А если покрытие конечное, то из интервалов, покрывающих $A_-$. можно выбрать самый правый...

(очень надеюсь, что троеточие не есть намёк на мой тугой ум)

Понял, выбираем самый правый слева и самый левый справа и разделяем их точкой, которой быть не должно. Спасибо!

Уточнение:

mihaild в сообщении #1485301 писал(а):

Два непересекающихся интервала можно разделить.

Я правильно понимаю, что это верно просто потому, что есть число $\frac{a+b}{2}$, если мы хотим разделить интервалы $(a',a)$ и $(b,b')$?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1485306 писал(а):

троеточие

Есть намек на то, что изложено начало рассуждение, которое нужно продолжить.

VoprosT в сообщении #1485306 писал(а):

есть число $\frac{a+b}{2}$, если мы хотим разделить интервалы $(a',a)$ и $(b,b')$

Да. То, что такое число есть, следует просто из аксиом поля; то, что оно разделяет интервалы - надо доказать (но это несложно, все нужные аксиомы порядка тоже уже есть).

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1485313 писал(а):

Да. То, что такое число есть, следует просто из аксиом поля; то, что оно разделяет интервалы - надо доказать (но это несложно, все нужные аксиомы порядка тоже уже есть).

Я так понимаю, просто по транзитивности "$<$" :
$a < \frac{a+b}{2} < b$. И тогда, $x \in (a',a) \Rightarrow x < a < \frac{a+b}{2} < b \Rightarrow x \notin (b,b')$

[ewert]

VoprosT в сообщении #1485306 писал(а):

Я правильно понимаю, что это верно просто потому, что есть число $\frac{a+b}{2}$, если мы хотим разделить интервалы $(a',a)$ и $(b,b')$?

Нет, не совсем (но и я не вполне внятно сформулировал; впрочем, и не старался).

Гипотетически возможен и случай, когда самый правый конец левых интервалов совпадает с самым левым концом правых. Но даже и в этом случае: их общий-то конец -- не покрыт!,

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1485316 писал(а):

$a < \frac{a+b}{2} < b$

Это быть правдой не обязано.

VoprosT в сообщении #1485316 писал(а):

$x \in (a',a) \Rightarrow x < a < \frac{a+b}{2} < b \Rightarrow x \notin (b,b')$

Последняя импликация странная - мы итак знали, что интервалы не пересекаются. Нам нужно $x \in (b, b') \Rightarrow x > \frac{a + b}{2}$.

ewert в сообщении #1485317 писал(а):

Гипотетически возможен и случай, когда самый правый конец левых интервалов совпадает с самым левым концом правых.

В этом случае $a = b$ и $\frac{a + b}{2}$ опять же разделяет интервалы.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1485322 писал(а):

VoprosT в сообщении #1485316 писал(а):

$a < \frac{a+b}{2} < b$

Это быть правдой не обязано.

Интервал $(a',a)$ левее, чем $(b,b')$, поэтому $a<b$. Но тогда: $a<b \Rightarrow a + a < a + b < b + b \Rightarrow 2a < a+b < 2b $, т.к. $2>0$, получаем $a < \frac{a+b}{2} < b$

[mihaild]

Из

VoprosT в сообщении #1485323 писал(а):

Интервал $(a',a)$ левее, чем $(b,b')$

не следует

VoprosT в сообщении #1485323 писал(а):

$a<b$

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1485324 писал(а):

Из

VoprosT в сообщении #1485323 писал(а):

Интервал $(a',a)$ левее, чем $(b,b')$

не следует

VoprosT в сообщении #1485323 писал(а):

$a<b$

Хм.
А почему это не следует из того, как заданы $A_-$ и $A_+$ и построения покрытия?

[ewert]

VoprosT в сообщении #1485326 писал(а):

А почему это не следует из того, как заданы $A_-$ и $A_+$ и построения покрытия?

По построению интервал для $A_-$ лишь не пересекается с $A_+$; он может и упираться в $A_+$. Конечно, можно каждый такой интервал дополнительно сузить, но это усложнит конструкцию безо всякой необходимости.

Поэтому лучше говорить о непокрытии не $\frac{a+b}2$, а просто $a$ или просто $b$.