как из леммы о конечном покрытии вывести аксиому полноты.
Такого рода эквивалентности лучше доказывать на попарно, а цепочкой -- по кругу.
Вот давайте считать, что аксиома Архимеда в любом случае есть -- чтобы на неё не отвлекаться.
Тогда есть несколько принципиальных утверждений, каждое из которых может исполнять роль аксиомы полноты.
1). Любое ограниченное множество имеет супремум.
2). Ограниченная монотонная последовательность сходится.
3). Принцип вложенных отрезков.
4). Из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
5). Любая фундаментальная последовательность сходится.
Достаточно очевидна цепочка
(некоторых усилий требует разве что переход
, но тоже небольших).
Теперь осталось доказать
(что тоже нетрудно, как только поставишь себе эту задачу) -- вот и эквивалентность.
А вот где тут место для леммы о конечном покрытии (надо полагать, Гейне-Бореля) -- непонятно. Она слишком тяжела по формулировке, чтобы служить аксиомой. Всё-таки понятия открытого и замкнутого множества не вполне тривиальны (в тех пяти утверждениях они не нужны).
Нет, ну можно поизвращаться, конечно, Скажем, так. Берём строго монотонную ограниченную последовательность; предположим, что у неё нет предела -- тогда множество её элементов замкнуто. Окружаем её набором непересекающихся интервалом и пытаемся выбрать конечное подпокрытие -- всё, приплыли.
Но, по-моему, это именно извращение.