Complex Plot sec(z)

[Red_Herring]

Если в ВольфрамАльфу ввести функцию переменного $z$ и Plot то она выдает в самом конце картинку, во что переходят линии сетки, параллельные вещественной и мнимой осям. В общем-то с sin(z) и tan(z) как и положено выводятся эллипсы/гиперболы и круги Апполония, а вот про sec(z) о котором все молчат выходит картинка вроде окружностей проходящих через начало. Меня взяли сомнения, и стало понятно, что это что-то другое, и если "большие круги" в общем то похожи на окружности (впрочем не совсем: это скорее восьмерка с тонкой талией, то у мелочи талия полнеет, а потом и вовсе исчезает. Кто-нибудь знает, как эти линии зовутся (если, конечно, у них есть имя)

[novichok2018]

Уравнениями можно кривые задать?

[Red_Herring]

novichok2018 в сообщении #1484745 писал(а):

Уравнениями можно кривые задать?

В параметрической форме тривиально (но много букв). Ксак иначе я сделал бы картинку?

[Утундрий]

Много букв можно поместить в тег code. Тогда станет немного более понятным загадочное

Red_Herring в сообщении #1484717 писал(а):

Если в ВольфрамАльфу ввести функцию переменного $z$ и Plot

[Red_Herring]

Используется синтаксис LaTeX

\documentclass[tikz]{standalone}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[xscale=1]
\clip (0,0) circle (5);
\foreach \y in {.2,.3,...,4}
\draw[thin,  blue, domain=-180:180,samples=1000] 
plot  ({cos(\x) *cosh(\y)/((cos(\x)*cosh(\y))^2 + (sin(\x)*sinh(\y))^2)}, {sin(\x)*sinh(\y)/((cos(\x)*cosh(\y))^2 + (sin(\x)*sinh(\y))^2)} );
\foreach \s in { -180,-170, ..., 180}
\draw[ thin,  red, domain=.02:3 ,samples=100] 
plot ({cos(\s)*cosh(\x)/((cos(\s)*cosh(\x))^2 + (sin(\s)*sinh(\x))^2)}, {sin(\s)*sinh(\x)/((cos(\s)*cosh(\x))^2 + (sin(\s)*sinh(\x))^2)} );
\end{tikzpicture}
\end{document}

[svv]

Уравнения кривых обоих семейств можно привести к виду:
$(t^2-1)\;(x^2+y^2)^2=2(t-1)\;x^2+2(t+1)\;y^2$
Тут $t$ — параметр семейства. Если $t>1$, получаются синие кривые, а если $-1<t<1$, то красные.
Т.е. получаются алгебраические кривые 4 порядка. Может, в каком-нибудь справочнике что-то подобное отыщется.

-- Пн сен 28, 2020 01:37:30 --

Интересно, что в уравнение входят только $x^2, y^2$. Это позволяет получать решения из решений уравнения второго порядка
$(t^2-1)\;(\xi+\eta)^2=2(t-1)\;\xi+2(t+1)\;\eta$

[Red_Herring]

svv в сообщении #1484977 писал(а):

Т.е. получаются алгебраические кривые 4 порядка

Спасибо.

[arseniiv]

novichok2018
Утундрий
Честности ради, Red_Herring же в исходном посту написал, что в эти кривые отображаются

Red_Herring в сообщении #1484717 писал(а):

линии сетки, параллельные вещественной и мнимой осям

Этого ведь достаточно, чтобы действительно легко получить хоть какие-то параметрические уравнения семейств кривых: $1/\cos(a + it) = x + iy$ и $1/\cos(t + ib) = x + iy$. Дальше разумеется косинус суммы и мудрим, но когда мудрить самому лень, спросить уже приведённые к какому-то хорошему виду уравнения у ТС можно было бы и помягче.

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #1484717 писал(а):

Если в ВольфрамАльфу ввести функцию переменного $z$ и Plot

На самом деле ничего загадочного здесь нет: сравним
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+sec%28x%29
и
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+sec%28z%29
ВольфрамАльфа воспринимает $x$ как вещественную переменную, а вот $z$ может быть и вещественной и комплексной, и потому она в первом случае дает немного, а во втором старается. Легкие примеры $z^2$, $\cos(z)$, $\tan (z)$, $1/z$, а вот уже конец (во что переходят линии сетки) $z^3$ неочевиден.

Т.ч. есть существенная разница между "введем в ВольфрамАльфу" и "Запишем уравнения" (Note: ВольфрамАльфа не нужен \ ).

[novichok2018]

Про названия. В частном случае $t=0$ в уравнениях из сообщения svv - это лемниската Бернулли. В общем случае - кривые Персея (см. Вики), я про них ранее не знал. Кажется, что в общем случае это ещё лемнискаты Бута (см. Вики), и про них не знал. Так что спасибо за пост, узнаешь что-то новое.

[Red_Herring]

novichok2018 в сообщении #1484997 писал(а):

Про названия. В частном случае $t=0$ в уравнениях из сообщения svv - это лемниската Бернулли. В общем случае - кривые Персея (см. Вики), я про них ранее не знал. Кажется, что в общем случае это ещё лемнискаты Бута (см. Вики), и про них не знал. Так что спасибо за пост, узнаешь что-то новое.

Интересно. Спасибо