2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение20.08.2020, 10:31 


15/08/20
25
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕНИ

Альтернативой методу Феррари может быть следующий:
$$x^4+px^2+qx+r=$$
$$=(x^2-px+q_1)(x^2+px+q_2)=$$
$$=x^4+(q_1+q_2-p^2)x^2+(q_2-q_1)px+q_1q_2=0. (1)$$

Откуда
$$A=q_1+q_2-p^2;  (2)$$
$$B=(q_2-q_1)p; (3)$$
$$C=q_1q_2; (4)$$
Если (2) и (3) возвести в квадрат, из (5) вычесть (6) и вместо $q_1q_2$ подставить C:
$$(q_1+q_2)^2=(A+p^2)^2, (5)$$
$$(q_2-q_1)^2= B^2\pm p^2; (6)$$
то получится уравнение для p :
$$p^6+2Ap^4+(A^2-4C)p^2-B^2=0.$$
Найдя p из этого уравнения, $q_1$ и $q_2$ из равенств (2),(3) и (4) и подставив их в (1), можно вычислить корни исходного уравнения.
Является ли идея оригинальной и актуальной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение20.08.2020, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
cheslav
А почему Вы решили, что любой многочлен вида $x^4+px^2+qx+r$ можно представить в виде произведения $(x^2-px+q_1)(x^2+px+q_2)$?
Это не так. Возьмём $p=1,\,q=0,\,r=0$. Тогда, по-Вашему, справедливо разложение
$x^4+x^2=(x^2-x+q_1)(x^2+x+q_2)$ с некоторыми числами $q_1,q_2$ (причём, очевидно, по крайней мере одно из них равно нулю, иначе мы бы имели свободный член $q_1q_2$, а его в многочлене $x^4+x^2$ нет).
То есть, либо $x^4+x^2\equiv(x^2-x)(x^2+x+q_2)$, либо $x^4+x^2\equiv(x^2-x+q_1)(x^2+x)$.
Но оба разложения невозможны, так как в первом случае при подстановке $x=1$ в левую часть получается $2$, а в правую часть - $0$; а во втором случае при подстановке $x=-1$ в левую часть получается $2$, а в правую часть - $0$.
Так что в Ваших рассуждениях неверен самый первый шаг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение20.08.2020, 13:46 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
cheslav в сообщении #1479953 писал(а):
Является ли идея оригинальной и актуальной?
Оригинальной --- вряд ли (см., например, topic81468.html). Да и от метода Феррари это отличается только техническими деталями.

Mikhail_K
Я думаю, там разные $p$ (у ТС неудачные обозначения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение20.08.2020, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Mikhail_K в сообщении #1479955 писал(а):
А почему Вы решили, что любой многочлен вида $x^4+px^2+qx+r$ можно представить в виде произведения $(x^2-px+q_1)(x^2+px+q_2)$?
Там, видимо, опечатка в исходном уравнении, и вместо $p,q,r$ должны быть $A,B,C$.

cheslav в сообщении #1479953 писал(а):
Является ли идея оригинальной и актуальной?
Этот метод разложения многочленов на множители был мне известен ещё в середине шестидесятых годов прошлого века, и я не сам его придумал.

cheslav в сообщении #1479953 писал(а):
Альтернативой методу Феррари может быть следующий:
А в чём преимущества? В методе Феррари нужно решать уравнение третьей степени, в вашем методе — тоже.

Могу ещё один такой метод предложить (не утверждаю,что я его придумал сам, хотя и не помню, откуда я его взял). Рассматриваем уравнение вида $$x^4+Ax^2+Bx+C=0,$$ как у Вас. Преобразуем уравнение так: $$x^4+2\alpha x^2+\alpha^2+(A-2\alpha)x^2+Bx+(C-\alpha^2)=0,$$ $$(x^2+\alpha)^2-((2\alpha-A)x^2-Bx+(\alpha^2-C))=0.$$ Теперь подберём $\alpha$ так, чтобы квадратный трёхчлен во второй скобке был точным квадратом. Для этого его дискриминант должен быть равен нулю, то есть, $$B^2-4(2\alpha-A)(\alpha^2-C)=0,$$ что, разумеется, тоже даёт уравнение третьей степени. Найдя его корни, представляем левую часть заданного уравнения как разность квадратов, и наше уравнение распадается на два квадратных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение20.08.2020, 15:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Someone в сообщении #1479976 писал(а):
Могу ещё один такой метод предложить
Так это метод Феррари применительно к уравнению, в котором нет $x^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение20.08.2020, 15:35 
Заблокирован


16/04/18

1129
Мне кажется, это одна из реинкарнаций метода (когда всё правильно посчитано), который называется резольвента Лагранжа, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение20.08.2020, 18:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018 в сообщении #1479988 писал(а):
резольвента Лагранжа
Смотря что под этим понимать. Можно составить уравнение 6-й степени, одним из корней которого будет $(x_1+ix_2-x_3-ix_4)^4$ (где $x_1$ и т.д. --- корни исходного уравнения 4-й степени), и посмотреть, получится ли выписанное у ТС уравнение. Но ... лень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение20.08.2020, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
nnosipov в сообщении #1479984 писал(а):
Так это метод Феррари применительно к уравнению, в котором нет $x^3$.
Видимо, да, поскольку я не помню других имён, связанных с решением уравнения четвёртой степени. Просто мне он известен уже лет 40, и я не помню, из какого источника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение20.08.2020, 19:34 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Джентльменский набор --- это метод Феррари и метод Эйлера (соответственно, имеем две разных кубических резольвенты). По крайней мере, так раньше будущих учителей учили (учебное пособие Винберга "Алгебра многочленов" для пединститутов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения четвёртой степени
Сообщение26.09.2020, 11:01 


15/08/20
25
В англоязычной Wikipedia приводится этот метод,но не указан автор.
Спасибо за отзывы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group