2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О вполне непрерывности оператора
Сообщение24.09.2020, 15:40 


09/11/12
239
Донецк
Дорогие друзья ! Прошу подсказать ключ к разгадке в следующей задаче: доказать, что любой ограниченный линейный оператор из $l_2$ в $l_1$ вполне непрерывен. Заранее благодарен ! P.S. Мне почему-то кажется, что такой оператор вообще должен быть конечномерен, хотя я не уверен

 Профиль  
                  
 
 Re: О вполне непрерывности оператора
Сообщение24.09.2020, 20:54 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Как вообще выглядит непрерывный оператор из $l_2$ в $l_1$ ? Как его записать можно? Что сопоставляется точке $x\in l_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О вполне непрерывности оператора
Сообщение25.09.2020, 00:25 


09/11/12
239
Донецк
Спасибо за сообщение. Вероятно, $x=(x_1,x_2,\ldots)$ и $Ax=y=(y_1,y_2,\ldots).$ Полагаю также, что $y_i(x)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j,$ то есть, оператор $A$ - бесконечномерная матрица (однако, такого утверждения вроде бы никто не доказывал).

 Профиль  
                  
 
 Re: О вполне непрерывности оператора
Сообщение25.09.2020, 05:45 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Evgenii2012 в сообщении #1484518 писал(а):
Вероятно, $x=(x_1,x_2,\ldots)$ и $Ax=y=(y_1,y_2,\ldots).$ Полагаю также, что $y_i(x)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j,$

Да. Каждое $y_i(x)$ является непрерывным линейным функционалом на $l_2$, а как такие функционалы выглядят мы знаем. То есть каждая строка $(a_{i1},a_{i2},...)$ матрицы $A$ есть вектор из $l_2$. Теперь вопрос: какому условию должны удовлетворять эти векторы, чтобы оператор $A$ бы непрерывным?

 Профиль  
                  
 
 Re: О вполне непрерывности оператора
Сообщение25.09.2020, 07:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
Можно воспользоваться тем, что ограниченный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся. А в $l_1$ слабая сходимость эквивалентна сильной. Из рефлексивности $l_2$ тогда всё и будет следовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: О вполне непрерывности оператора
Сообщение25.09.2020, 08:00 


09/11/12
239
Донецк
Padawan, получается так: $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\left|\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j\right|\leqslant C\cdot \left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}x_j^2\right)^{1/2}.$ В частности,отсюда следует, что $\left|\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j\right|\leqslant C\cdot \left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}x_j^2\right)^{1/2},$ где $C>0$ -- некоторая постоянная. Что дальше отсюда следует, пока не вполне понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: О вполне непрерывности оператора
Сообщение25.09.2020, 08:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Evgenii2012
Я думал получится доказать, что если оператор непрерывен, то ряд из длин этих векторов $\sum\limits_{i=1}\|a_i}\|<+\infty$. Оказывается это достаточное, но не необходимое для непрерывности условие. Контрпример: $Ax=(x_1,x_2/2^{0.7},x_3/3^{0.7},...)$ . Пока не знаю, как решить Вашу задачу. Лучше прислушайтесь к thething

 Профиль  
                  
 
 Re: О вполне непрерывности оператора
Сообщение25.09.2020, 08:22 


09/11/12
239
Донецк
Padawan, thething, большое спасибо за подсказки. Я подумаю

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group