О вполне непрерывности оператора

[Evgenii2012]

Дорогие друзья ! Прошу подсказать ключ к разгадке в следующей задаче: доказать, что любой ограниченный линейный оператор из $l_2$ в $l_1$ вполне непрерывен. Заранее благодарен ! P.S. Мне почему-то кажется, что такой оператор вообще должен быть конечномерен, хотя я не уверен

[Padawan]

Как вообще выглядит непрерывный оператор из $l_2$ в $l_1$ ? Как его записать можно? Что сопоставляется точке $x\in l_2$?

[Evgenii2012]

Спасибо за сообщение. Вероятно, $x=(x_1,x_2,\ldots)$ и $Ax=y=(y_1,y_2,\ldots).$ Полагаю также, что $y_i(x)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j,$ то есть, оператор $A$ - бесконечномерная матрица (однако, такого утверждения вроде бы никто не доказывал).

[Padawan]

Evgenii2012 в сообщении #1484518 писал(а):

Вероятно, $x=(x_1,x_2,\ldots)$ и $Ax=y=(y_1,y_2,\ldots).$ Полагаю также, что $y_i(x)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j,$

Да. Каждое $y_i(x)$ является непрерывным линейным функционалом на $l_2$, а как такие функционалы выглядят мы знаем. То есть каждая строка $(a_{i1},a_{i2},...)$ матрицы $A$ есть вектор из $l_2$. Теперь вопрос: какому условию должны удовлетворять эти векторы, чтобы оператор $A$ бы непрерывным?

[thething]

Можно воспользоваться тем, что ограниченный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся. А в $l_1$ слабая сходимость эквивалентна сильной. Из рефлексивности $l_2$ тогда всё и будет следовать.

[Evgenii2012]

Padawan, получается так: $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\left|\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j\right|\leqslant C\cdot \left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}x_j^2\right)^{1/2}.$ В частности,отсюда следует, что $\left|\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j\right|\leqslant C\cdot \left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}x_j^2\right)^{1/2},$ где $C>0$ -- некоторая постоянная. Что дальше отсюда следует, пока не вполне понятно.

[Padawan]

Evgenii2012
Я думал получится доказать, что если оператор непрерывен, то ряд из длин этих векторов $\sum\limits_{i=1}\|a_i}\|<+\infty$. Оказывается это достаточное, но не необходимое для непрерывности условие. Контрпример: $Ax=(x_1,x_2/2^{0.7},x_3/3^{0.7},...)$ . Пока не знаю, как решить Вашу задачу. Лучше прислушайтесь к thething

[Evgenii2012]

Padawan, thething, большое спасибо за подсказки. Я подумаю