Вычисление обобщенной производной

[NEvOl]

Здравствуйте, пытаюсь найти обобщенную производную функции сигнум на интервале (-1, 1). Посчитал что $-\int\limits_{-1}^{1} sgn(x) \phi(x) dx = 2\phi(0)$ для любой $ \phi(x) \in C^{\infty}_{0} ((-1, 1)) $. Сейчас пользуясь определением я так понимаю мне нужно найти функцию $u(x) \in L^{2}((-1, 1)) $ такую что $\int\limits_{-1}^{1}u(x) \phi(x) dx = 2\phi(0)$, тогда $u(x)$ и будет производной сигнум функции, я верно понимаю ?

[Otta]

А курс обобщенных функций хотя бы начался?
Тогда Вы должны бы уже знать, значение какого функционала равно основной функции в нуле.

Нет, в класс $L_2$ ходить не надо.

[pogulyat_vyshel]

NEvOl
функциональный анализ Колмогорова Фомина почитайте

[NEvOl]

Otta в сообщении #1483645 писал(а):

А курс обобщенных функций хотя бы начался?

Не начался. Тема обобщенных производных у нас немного затрагивалась в рамках программы по функциональному анализу.

[pogulyat_vyshel]

кстати доказать, что обобщенная производная от ступеньки не имеет суммируемой плотности тоже интересно, хотя и несложно

[ewert]

NEvOl, если у вас ещё не было обобщённых функций, то постановка задачи бессмысленна.

Обобщённые производные и обобщённые функции -- понятия действительно родственные. Однако существенно разные.

Общее у них то, что производные формально определяются через интегралы (если говорить по существу).

Но обобщённая производная -- это обычная функция (пусть и из лебеговского класса). Обобщённая же функция -- не более чем функционал, вообще говоря.

[NEvOl]

ewert в сообщении #1483740 писал(а):

NEvOl, если у вас ещё не было обобщённых функций, то постановка задачи бессмысленна.

Обобщённые производные и обобщённые функции -- понятия действительно родственные. Однако существенно разные.

Общее у них то, что производные формально определяются через интегралы (если говорить по существу).

Но обобщённая производная -- это обычная функция (пусть и из лебеговского класса). Обобщённая же функция -- не более чем функционал, вообще говоря.

получилось так что нам дали определение обобщенной производной через интегралы (то что я привел в 1ом посте по сути) и сказали подумать над вопросом существует ли обобщенная производная для сигнума. Я так понимаю что обобщенной производной в смысле функции из $L_{2}(-1, 1)$ у сигнума нет ?

[NEvOl]

и вообще мне не понятно, причем тут обобщенные функции если определение обобщенной производной никак с ними не связано, а связано только с пространствами $C_{0}^{\infty}(-1, 1)$ и $L^{2}(-1, 1)$ в данном случае?

[Padawan]

NEvOl в сообщении #1483637 писал(а):

Сейчас пользуясь определением я так понимаю мне нужно найти функцию $u(x) \in L^{2}((-1, 1)) $ такую что $\int\limits_{-1}^{1}u(x) \phi(x) dx = 2\phi(0)$, тогда $u(x)$ и будет производной сигнум функции, я верно понимаю ?

Верно. Вам надо показать, что такой функции $u(x)$ не существует. Не только в $L^2$, но и в $L^1_{\mathrm{loc}}(-1,1)}$.

[NEvOl]

Padawan в сообщении #1483932 писал(а):

Верно. Вам надо показать, что такой функции $u(x)$ не существует. Не только в $L^2$, но и в $L^1_{\mathrm{loc}}(-1,1)}$.

Ух сложно, хочу начать с $L^2$. Рассмотрел $\int\limits_{-1}^{1}u(x)\phi(x) - \phi(0) dx = 0$ хочу показать что не найдется такой функции $u(x)$ что равенство верно для всех $\phi(x)$. Дальше не понятно :( есть мысль рассмотреть какие-то конкретные $\phi(x)$ и на основе их сделать выводы, но не ясно даже какие $\phi(x)$ брать. Как можно проще всего доказать это ?

[ewert]

NEvOl в сообщении #1483750 писал(а):

Я так понимаю что обобщенной производной в смысле функции из $L_{2}(-1, 1)$ у сигнума нет ?

Тут два вопроса: 1) есть или нет? и 2) как доказать?

То, что нет -- очевидно: производная есть удвоенная дельта-функция, а она функцией не является.

А насчёт доказательства -- вспомните, что Вам известно про свойства интеграла с переменным верхним пределом от любой (хотя бы просто суммируемой) функции.

-- Пн сен 21, 2020 06:52:41 --

NEvOl в сообщении #1483930 писал(а):

и вообще мне не понятно, причем тут обобщенные функции если определение обобщенной производной никак с ними не связано,

Это сами обобщённые функции не связаны, определения же производной и в том, и в другом случае формально идентичны.

[NEvOl]

Пробовал рассмотреть последовательность функций вида \phi_{n}(x)=$$\begin{cases} c_ne^{\frac{-1}{\frac{1}{n^2} - x^2}},&\text{если $x<\frac{1}{n}$;}\\ 0,&\text{если $x\geqslant \frac{1}{n}$;}\\ \end{cases}$$ с нужными константами $c_n$ но что-то ничего не получилось путного((

А о каком свойстве интегралов вы говорите, мне не очень понятно((

[Padawan]

Производная интеграла с переменным верхним пределом п.в. равна подынтегральной функции. Совместите это с тем, что интеграл по любому отрезку, не содержащему точку $0$, от функции $u(x)$ равен нулю (это тоже надо доказать).