2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление обобщенной производной
Сообщение18.09.2020, 20:22 


14/07/16
57
Здравствуйте, пытаюсь найти обобщенную производную функции сигнум на интервале (-1, 1). Посчитал что $-\int\limits_{-1}^{1} sgn(x) \phi(x) dx = 2\phi(0)$ для любой $ \phi(x) \in C^{\infty}_{0} ((-1, 1)) $. Сейчас пользуясь определением я так понимаю мне нужно найти функцию $u(x) \in L^{2}((-1, 1)) $ такую что $\int\limits_{-1}^{1}u(x) \phi(x) dx = 2\phi(0)$, тогда $u(x)$ и будет производной сигнум функции, я верно понимаю ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение18.09.2020, 20:39 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А курс обобщенных функций хотя бы начался?
Тогда Вы должны бы уже знать, значение какого функционала равно основной функции в нуле.

Нет, в класс $L_2$ ходить не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение18.09.2020, 21:41 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
NEvOl
функциональный анализ Колмогорова Фомина почитайте

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение18.09.2020, 21:48 


14/07/16
57
Otta в сообщении #1483645 писал(а):
А курс обобщенных функций хотя бы начался?

Не начался. Тема обобщенных производных у нас немного затрагивалась в рамках программы по функциональному анализу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение18.09.2020, 21:49 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
кстати доказать, что обобщенная производная от ступеньки не имеет суммируемой плотности тоже интересно, хотя и несложно

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение19.09.2020, 10:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
NEvOl, если у вас ещё не было обобщённых функций, то постановка задачи бессмысленна.

Обобщённые производные и обобщённые функции -- понятия действительно родственные. Однако существенно разные.

Общее у них то, что производные формально определяются через интегралы (если говорить по существу).

Но обобщённая производная -- это обычная функция (пусть и из лебеговского класса). Обобщённая же функция -- не более чем функционал, вообще говоря.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение19.09.2020, 12:23 


14/07/16
57
ewert в сообщении #1483740 писал(а):
NEvOl, если у вас ещё не было обобщённых функций, то постановка задачи бессмысленна.

Обобщённые производные и обобщённые функции -- понятия действительно родственные. Однако существенно разные.

Общее у них то, что производные формально определяются через интегралы (если говорить по существу).

Но обобщённая производная -- это обычная функция (пусть и из лебеговского класса). Обобщённая же функция -- не более чем функционал, вообще говоря.

получилось так что нам дали определение обобщенной производной через интегралы (то что я привел в 1ом посте по сути) и сказали подумать над вопросом существует ли обобщенная производная для сигнума. Я так понимаю что обобщенной производной в смысле функции из $L_{2}(-1, 1)$ у сигнума нет ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение20.09.2020, 18:11 


14/07/16
57
и вообще мне не понятно, причем тут обобщенные функции если определение обобщенной производной никак с ними не связано, а связано только с пространствами $C_{0}^{\infty}(-1, 1)$ и $L^{2}(-1, 1)$ в данном случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение20.09.2020, 18:18 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
NEvOl в сообщении #1483637 писал(а):
Сейчас пользуясь определением я так понимаю мне нужно найти функцию $u(x) \in L^{2}((-1, 1)) $ такую что $\int\limits_{-1}^{1}u(x) \phi(x) dx = 2\phi(0)$, тогда $u(x)$ и будет производной сигнум функции, я верно понимаю ?

Верно. Вам надо показать, что такой функции $u(x)$ не существует. Не только в $L^2$, но и в $L^1_{\mathrm{loc}}(-1,1)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение21.09.2020, 00:55 


14/07/16
57
Padawan в сообщении #1483932 писал(а):
Верно. Вам надо показать, что такой функции $u(x)$ не существует. Не только в $L^2$, но и в $L^1_{\mathrm{loc}}(-1,1)}$.

Ух сложно, хочу начать с $L^2$. Рассмотрел $\int\limits_{-1}^{1}u(x)\phi(x) - \phi(0) dx = 0$ хочу показать что не найдется такой функции $u(x)$ что равенство верно для всех $\phi(x)$. Дальше не понятно :( есть мысль рассмотреть какие-то конкретные $\phi(x)$ и на основе их сделать выводы, но не ясно даже какие $\phi(x)$ брать. Как можно проще всего доказать это ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение21.09.2020, 05:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
NEvOl в сообщении #1483750 писал(а):
Я так понимаю что обобщенной производной в смысле функции из $L_{2}(-1, 1)$ у сигнума нет ?

Тут два вопроса: 1) есть или нет? и 2) как доказать?

То, что нет -- очевидно: производная есть удвоенная дельта-функция, а она функцией не является.

А насчёт доказательства -- вспомните, что Вам известно про свойства интеграла с переменным верхним пределом от любой (хотя бы просто суммируемой) функции.

-- Пн сен 21, 2020 06:52:41 --

NEvOl в сообщении #1483930 писал(а):
и вообще мне не понятно, причем тут обобщенные функции если определение обобщенной производной никак с ними не связано,

Это сами обобщённые функции не связаны, определения же производной и в том, и в другом случае формально идентичны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение21.09.2020, 21:12 


14/07/16
57
Пробовал рассмотреть последовательность функций вида \phi_{n}(x)=$$\begin{cases}
c_ne^{\frac{-1}{\frac{1}{n^2} - x^2}},&\text{если $x<\frac{1}{n}$;}\\
0,&\text{если $x\geqslant \frac{1}{n}$;}\\
\end{cases}$$ с нужными константами $c_n$ но что-то ничего не получилось путного((

А о каком свойстве интегралов вы говорите, мне не очень понятно((

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обобщенной производной
Сообщение21.09.2020, 21:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Производная интеграла с переменным верхним пределом п.в. равна подынтегральной функции. Совместите это с тем, что интеграл по любому отрезку, не содержащему точку $0$, от функции $u(x)$ равен нулю (это тоже надо доказать).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group